Exercice 1 :la légende du jeu d'échecs

 

Le jeu d’échecs a été inventé en Inde par Sessa  . Il se  joue sur un damier de 64 cases.

 

Lorsque l’empereur Chiram joua à ce jeu pour la 1^e fois , il fut en admiration pour Sessa , son inventeur . La légende dit que le roi fut si impressionné par la beauté de ce jeu qu’il voulut offrir à son inventeur un magnifique cadeau.

 

 Très modestement , Sessa répondit :

«  Qu’on me donne un grain de blé pour la première case , deux grains pour la seconde , quatre pour la troisième et ainsi de suite en doublant ce nombre d’une case à l’autre jusqu’à la 64e ».

 

1°) a ) Combien de grains de blé seront posés sur la 4e case ? sur la 6e case ? Vous écrirez l’opération correspondante , puis son résultat.

 

      b ) Recopier et compléter le tableau suivant ; le nombre de grains de blé sera donné sous la  forme d’une puissance de 2 :   

 

Numéro de la case	1	2	3	4	5	6	10	64
Nombre de grains de blé	1	2	2²	.........	........	.........	..........	……..

 

     c) Quelle opération doit-on effectuer pour trouver le nombre total de grains de blé ?Vous utiliserez les puissances de 2  Soit S cette opération( que vous écrirez à l'aide des puissances de deux ).

     d) Calculer 2 S. Exprimer ce résultat à l’aide des puissances de deux.

         ( on rappelle de k ( a + b ) = k a + k b )

     e) Calculer 2 S – S .  En déduire que S = 2⁶⁴ -1  ( = 18 446 744 073 709 551 615 )

 

2°) a) A l’aide de la calculatrice , donner un ordre de grandeur de S . Vous écrirez le résultat sous  forme scientifique.( le nombre décimal de la forme scientifique sera arrondi au dixième ).

 

  POUR TOUTES LES QUESTIONS SUIVANTES , PRENDRE S » 1,8 10¹⁹. VOUS ECRIREZ TOUS LES RESULTATS SOUS FORME SCIENTIFIQUE , LE NOMBRE DECIMAL DE LA FORME SCIENTIFIQUE SERA ARRONDI AU DIXIEME.

 

      b) Sachant qu’un grain de blé pèse environ 0,06 g , calculer approximativement la masse de blé que devrait recevoir l’inventeur d’échecs. Donner la réponse en kg , puis en tonnes sous la forme d’une puissance de 10.

 

      c)  Combien de sacs de 50 kg peut-on remplir ?

 

     d) Combien faut-il de véhicules faut-il pour transporter ces sacs , sachant qu’un véhicule peut transporter 80 sacs ?

    

 

3°) Pour s’acquitter d’une dette aussi encombrante , il fut proposé à Sessa de venir compter grain par grain la quantité demandée .

      A raison d’un grain par seconde , combien en recueillerait-il en 1 an ?

     ( on rappelle que 1 an » 365,25 jours )

      Combien lui faudrait-il d’années pour prendre tous les grains de blé qui lui sont dûs ?

4°) En considérant que la population mondiale soit de 6 milliards d"habitants et que chaque être humain puisse vivre avec 1 kg de blé par jour , pendant combien de temps pourrait-on l'alimenter avec le blé de Sessa ?

5°) Admettant que le diamètre de la Terre est de 12 756 km et que les terres cultivables occupent 5 % de sa surface , pendant combien d'années peut-on planter du blé sur toutes les terres cultivables avec la réserve de Sessa , à raison de 1 grain pour 4 cm² ?

( La surface de la Terre est donnée par la formule : S = 4 R²)

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