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nombres entiers–fractions–nombres irrationnels – nombres décimaux – nombres négatifs – nombres algébriques –nombres transcendants

Commençons par préciser la différence entre un nombre et un chiffre : un nombre est formé à l'aide des dix chiffres 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

Ce sont les nombres entiers qui ont d'abord été utilisés : ils servaient à compter des troupeaux , des objets ou des individus . L'établissement d'une comptabilité de plus en plus complexe  a  nécessité  un enregistrement écrit des comptes. Ainsi serait née la représentation écrite des nombres. ( il faut rappeler que la numération a d'abord été orale  avant d'être écrite.)

En Inde , les chiffres sont apparus , sous une forme différente de celle que nous utilisons de nos jours , vers le 3e siècle avant JC . Ces chiffres ont évolué au cours du temps et ils prendront leur allure définitive au XIIIe et XIVe siècle . Mais ce sont les mathématiciens arabes qui les ont transmis entre le IXe et le XIV e siècle ; d'où le nom de chiffres arabes.

C'est par l'intermédiaire des Arabes que la science indienne s'installera en Europe .  Le plus célèbre des mathématiciens arabes est Al-Kharizmi qui a écrit deux livres dont l'un d'entre eux est « Al jabr » , mot qui deviendra « algèbre » . Dans son livre , ce mot a désigné l'opération consistant à faire passer des termes d'une équation d'un membre à l'autre pour n'avoir que des termes positifs des deux côtés de l'égalité .

Au milieu du IXe siècle , les chiffres arabes étaient encore identiques à eux des chiffres indiens .Ils seront ensuite modifiés pour les adapter au style de leur écriture .

C'est le moine français Gerbert d'Aurillac qui fit introduire les chiffres arabes en Europe , à l'exception du zéro et des méthodes indiennes de calcul . Les chiffres furent employés , dans un premier temps , uniquement afin de simplifier l'usage des tables à calcul : au lieu de placer dans chacune des colonnes de l'abaque autant de cailloux que ce qu'il y a d'unités , ils utilisèrent des jetons en os de corne sur lesquels étaient gravés les chiffres arabes :

L'usage du zéro était inutile avec l'abaque . Si des unités d'un certain ordre étaient absentes , aucun jeton n'était placé dans la colonne concernée.  

La 1e diffusion des chiffres arabes en Europe s'est donc faite à l'aide de jetons .

On ne peut pas tout mesurer sans les fractions. C'est pour cela qu'elles sont utilisées depuis d'Antiquité. Ce sont les nombres qui sont apparus après les nombres entiers pour faire face à des problèmes de partage .

En Egypte : Ils utilisaient uniquement des fractions de numérateur 1 ( sauf la fraction 2/3 ) . Toute autre fraction était décomposée en une somme de fractions toutes différentes et de numérateur égal à 1 .

Les Babyloniens : ils utilisaient des fractions de numérateur 60 ou 3600 . Ce type de fraction nous sert encore à mesurer le temps.

En effet , 1 min = ; 1 s = h ; 12 h 18 min 5 s = ( 12+ + ) h

Les Indiens : C'est à eux que nous devons la notation des fractions : ils écrivaient le numérateur au-dessus du dénominateur mais sans le trait de fraction . Ce sont les Arabes qui inventeront la barre horizontale séparant le numérateur et le dénominateur. Une telle notation devint usuelle au Moyen -Âge chrétien grâce à  Oresme qui notera la fraction telle que nous la connaissons aujourd'hui. Au XIXe siècle.

Les Grecs donneront les méthodes de calcul pour ajouter , soustraire , multiplier et diviser des fractions . Euclide récapitule ces méthodes dans « Eléments »  , livre V .

Ce sont les nombres qui ne peuvent pas s'écrire sous la forme d'une fraction .

Les Pythagoriciens montreront que le nombre n'est pas rationnel . En 1761 , il fut prouvé que p ne l'est pas non plus .

La définition actuelle d'un nombre irrationnel  est la suivante : « Un nombre est dit irrationnel s'il n'est la solution d'aucune équation du 1er degré à coefficient entiers » .

Par exemple , le nombre   est un nombre rationnel car il est solution de l'équation 3 x - 2 = 0    

    

 

Contrairement à ce que l'on pourrait croire  , les nombres décimaux ont été introduits après les fractions , suite à la découverte des fractions décimales .

Comment on notait de tels nombres auparavant ?

Jusqu'au XVIe siècle , au lieu d'écrire 34 , 781  on écrivait :   ou 

Qui a créé les nombres décimaux ?

C'est un mathématicien arabe qui les a introduits  , en utilisant de façon systématique les dixièmes , les centièmes . . . pour simplifier les calculs . Il a expliqué ces  « nouveaux nombres » dans un livre en 952 ( qui fut retrouvé en 1966 seulement ) . Il explique qu'on peut remplacer  par 0,5 ;  par 0,35.... Il montre qu'on peut , grâce à ces nouveaux nombres , multiplier et diviser rapidement par 10. Son oeuvre restera inconnue.

Grâce à qui l'usage de tels nombres deviendra-t-il courant ?

Ce sera un autre mathématicien ( Al-Kashi) , qui définira en 1427 ce que sont les nombres décimaux et il expliquera les opérations sur de tels nombres.

Sans connaître l'oeuvre d'Al-Kashi sur les nombres décimaux , un mathématicien flamand Stevin publie en 1582 un livre sur les nombres décimaux  " La disme "). Dans ce livre , il explique les nombreux avantages de ces nombres dans les calculs pour l'arpentage , l'astronomie , le commerce ; et demande que les monnaies soient partagées en 10 ; 100 ; 1000...... Ainsi , il  écrivait : ( où (0) signifie unité (1) signifie dixième (2) signifie centième (3) ) signifie millième pour désigner le nombre que nous notons aujourd hui  34,781

 Ce ne sera qu'en 1789 , lors de la révolution française , que sera introduit le système métrique ( et toutes les anciennes unités de mesures disparaîtront ) ; ses multiples ( déca , hecto , kilo ) et ses sous-multiples ( déci , centi , milli ). Ce système métrique ne sera obligatoire en France qu'en 1837. Celui-ci sera ensuite adopté dans d'autres pays. Entre ces deux périodes , il y aura un conflit entre les adeptes des fractions et ceux des nombres décimaux.

 En 1592 , un italien écrivait :  34 . 781    Cette dernière notation est toujours employée dans les pays anglo-saxons , ainsi que sur la calculatrice.

Ce sera en 1615 qu'un écossais du nom de Napier créera la virgule pour écrire les nombres  décimaux

Petite chronologie

Une des conséquences d'une telle notation : l'invention du système métrique .

Le grand intérêt des fractions est qu'on peut désormais donner une valeur approchée des nombres irrationnels comme pi .

 

Les nombres négatifs n'ont pas toujours existé . Ils ont même mis longtemps avant d'être acceptés. Ils sont apparus au 1er millénaire après JC ( vers 630 , à l'époque du roi Dagobert ) grâce à un Indien qui précisa les règles d'addition et de soustraction sur ces nouveaux nombres ; des commerçants éprouvaient apparemment le besoin symboliser les dettes et les créances .

Ils ne seront utilisés pour la 1e fois en France qu'en 1484 . Ce ne sera qu'au XVIIIe siècle que ceux-ci seront utilisés couramment. Au XVIIe siècle encore, Descartes considèrera comme fausses les solutions négatives d'une équation.

De nos jours , on les utilise pour :

 

 

Ces nouveaux nombres ont été définis par Abel , mathématicien norvégien et Galois , mathématicien français .

C'est un « groupement » de nombres qui permet de classer les nombres s'écrivant à l'aide d'une racine .

« Un nombre est algébrique s'il est solution d'une équation algébrique à coefficients entiers » .

Par exemple ,  est un nombre algébrique car il est solution de l'équation : x² - 2 = 0

                     est un nombre algébrique car il est solution de l'équation : x^3 - 5 = 0

 

Ce sont des nombres qu'on ne peut classer dans aucune des catégories précédemment citée . Il est défini comme un nombre qui n'est solution d'aucune équation algébrique à coefficients entiers ou fractionnaires . C'est un nombre irrationnel qui ne peut pas s'écrire sous la forme d'une racine .

Des exemples de tels nombres :  ; e ( base du système des logarithmes ) ; log 2 ; cos 25°  ...

Attention : cos 45° = et sont des nombres algébriques donc non transcendants .