Pour montrer que  est un nombre irrationnel , on suppose qu’il peut s’écrire sous la forme d’un quotient de deux nombres entiers :     où p et q sont deux nombres entiers premiers entre eux

En élevant les deux membres au carré :  , c’est-à-dire : p² = 2q²

p² est donc un nombre pair . donc p est un nombre pair ( si p était impair , on aurait impair ´ impair = impair ) , il est donc divisible par 2 .On peut donc l’écrire sous la forme : p = 2 ´ p’

 

En remplaçant p par 2 ´ p’ dans l’égalité : p² = 2q²  , on obtient : 4 ´ p’ ² = 2 q² , soit 2 ´ p’ ²= q²

 

Donc q² est un nombre pair , q est donc un nombre pair .

 

p et q sont donc deux nombres pairs , ils ont 2 comme diviseur commun . Ils ne sont donc pas premiers entre eux.

 

L’hypothèse de départ est donc fausse . Donc  ne peut pas s’écrire sous la forme d’une fraction .

 

 est donc un nombre irrationnel .