Démonstration du théorème : par les chinois - par Garfield - par la méthode des carrés - par Euclide

Qui était Pythagore ?

Pythagore était un mathématicien grec de la fin du 6^e siècle avant JC , il serait né au large des côtes de Turquie .

Il fonda l’école des pythagoriciens qui était en fait une secte qui comptait environ 218 adeptes . Elle dura environ 1500 ans . Ils avaient des activités religieuses , philosophiques , mathématiques et politiques . La devise des pythagoriciens était «Toutes choses sont des nombres ». Ceux qui étaient dans cette école rapportaient leurs découvertes scientifiques à Pythagore. Il est donc impossible de distinguer les inventions de Pythagore de celles de ses disciples.

Il fut l’élève de Thalès . Comme pour ce dernier , on ne dispose d’aucune œuvre car à cette époque l’enseignement était oral. On ne sait donc pas si Pythagore a démontré son propre théorème.

La mort de Pythagore semble étrange . Voici la version la plus répandue : un jour , sa maison fut incendiée par ses ennemis .Plusieurs de ses disciples furent tués . Pythagore lui-même se sauva pour se retrouver dans un champ de haricots . Il s'arrêta et déclara qu'il préférait être tué plutôt que de traverser ce champ de haricots . Ses poursuivants le prirent au mot et lui tranchèrent la gorge .

Théorème de Pythagore

Le théorème de Pythagore était connu des Babyloniens ( soit 100 ans avant Pythagore ) : des textes gravés sur une tablette d’argile ont été trouvés . Précisons que les Babyloniens ne connaissaient pas le théorème sous sa forme générale mais utilisaient ce qu'on appelle des triplets pythagoriciens .

Rappelons son énoncé : «Dans un triangle rectangle , le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés » . Soit : si ABC est un triangle rectangle en A , on a : BC ² = AB ² + AC ²

Ce fameux « théorème de Pythagore » ( appelé ainsi depuis le milieu du XX^e siècle)fut appelé au début du XX^esiècle « le Pont-aux-ânes de la géométrie » par les lycéens.( connaissance permettant de juger de l’intelligence de quelqu’un). Il a eu , au fil du temps différents noms : « Théorème de la mariée » chez les Grecs ; « Chaise de la mariée » chez les Hindous , « Figure de l'épousée » chez les Perses pour la réciproque du théorème de Pythagore.

En Mésopotamie , en Inde, et même en Egypte , on utilisait des cordes à nœuds pour obtenir des angles droits ( pour construire des autels ...)( par exemple une corde à 13 nœuds régulièrement espacés permet de tracer un triangle de côtés 3 ; 4 ; 5

( les nœuds n°1 et 13 se confondent )

Triplets pythagoriciens

Voici une liste de nombres vérifiant la relation de Pythagore a²+b²=c² ( un triangle dont les côtés mesurent les longueurs suivantes est rectangle ) :

( 3 ; 4 ; 5 ) ( 5 ; 12 ; 13 ) ( 6 ; 8 ; 10 ) ( 7 ; 24 ; 25 ) ( 8 ; 15 ; 17 ) (12 ; 16 ; 20 )

(12 ; 35 ; 37 ) ( 15 ; 20 ; 25 ) ( 15 ; 36 ; 39 ) ( 20 ; 21 ; 29 ) ( 119 ; 120 ; 169 )

Les triplets sont connus des maçons qui les utilisent pour « fabriquer » des angles droits.

Ces triplets de nombres sont appelés triplets pythagoriciens car ils peuvent être la mesure des trois côtés d’un triangle rectangle .

Tablette conservée à l'université de Columbia à New-York ; elle est composée de 4 colonnes et 15 rangées de nombres , elle appartiendrait à une tablette plus grande qui aurait été brisée ; on pense qu'elle donne une procédure de triplets pythagoriciens fractionnaires .

Ceci prouve que les Babyloniens connaissaient le théorème de Pythagore dès 1800 - 1650 avant JC , soit un millier d'années avant Pythagore !

Pour trouver de tels triplets , on écrit : a = k ( m² + n² ) b = k ( m² - n² ) c = 2 k m n

Où k , m et n sont trois nombre entiers ; m> n et m et n de parités différentes

On peut aussi obtenir de tels triplets ainsi : soit n un nombre entier quelconque.

a = 2 n + 1 b = 2 n ² + 2 n c = 2 n ² + 2 n + 1

Quelques triplets pythagoriciens

Les Pythagoriciens

Ils ont découvert :

les premières démonstrations de l’histoire sur l’irrationalité de

( c’est-à-dire qu’on ne peut pas l’écrire sous la forme d’une fraction ) et sur la somme des angles d’un triangle

les premières classifications des nombres en nombres pairs et impairs ainsi que les règles de calcul :

Ils construisent trois polyèdres réguliers ( parmi les cinq ) : le cube , le tétraèdre et le dodécaèdre . Platon avait démontré qu’il n’existait que cinq polyèdres réguliers dans l’espace , les deux autres étant l’icosaèdre et l’octaèdre.( Un polyèdre régulier est un solide ayant toutes ses faces qui sont des polygones réguliers ( carré , triangle équilatéral , pentagone régulier…) )

Ils ont défini les nombres triangulaires , carrés , pentagonaux

Les nombres triangulaires :

Les nombres carrés :

Ils ont ainsi trouvé comment calculer la somme des n premiers nombres impairs ( égal à n² )

Les nombres pentagonaux :

Démonstration par les Chinois

Le théorème de Pythagore a été démontré par Euclide.

Il existe environ 367 démonstrations de ce théorème. La plus ancienne est une démonstration chinoise.

On démontre d’abord que ABCD est un carré . Puis ,on calcule l’aire du carré ABCD de deux façons :

aire = c c = c²

aire = 4 aire du triangle + aire du petit carré de côté (b-a)

= 4 [(ab) 2] + ( b – a )²

= 2ab + a² + b² - 2 ab

= a² + b²

Finalement , on obtient bien a²+b² = c²

Démonstration par Garfield en 1876

Garfield a été le 20e président des Etats-Unis ; il s’est inspiré de la démonstration des Chinois.

On se donne deux triangles rectangles de côtés a ; b et c disposés comme l’indique la figure ci-dessus :

On calcule l’aire du trapèze ainsi formé :

A = [( b + a ) (a+b)] 2 = ( a² + 2ab + b² ) 2 = (a² 2) + ab + (b²2)

D’autre part , l’aire de ce trapèze est égale à la somme des aires des trois triangles rectangles ( il faudrait encore démontrer que le 3e triangle est bien rectangle en utilisant le fait que les deux angles d’un triangle rectangle autre que l’angle droit sont complémentaires ) :

A = (ab 2 ) + (ab 2 ) + (c² 2)= ab + (c² 2)

En égalant les deux résultats trouvés , on peut écrire :

(a² 2) + ab + (b²2) = ab + (c² 2) soit : (a² 2) + (b²2) =c² 2

On obtient donc bien : a²+b² = c²

Autre démonstration du théorème de Pythagore

On dispose de quatre triangles rectangles d’hypoténuse a et de côtés b et c .

On démontre d’abord que JGHI est un carré ( on utilise le fait que les deux angles , autres que l’angle droit , sont complémentaires )

On calcule dans les deux figures les aires en blanc qui sont égales :

Par le premier dessin , aire de JGHI = a²

Par le deuxième dessin , aire = aire du carré VNUW + aire du carré TWSQ = c² + b²

D’où : a² = b² + c ²

Démonstration par Euclide

On se donne un triangle ABC rectangle en A . On veut prouver que AB² + AC² = BC²

On construit les trois carrés à l’extérieur du triangle de côtés respectifs AB ; AC et BC .

Les deux triangles FBC et ABD ont deux côtés égaux ( AB = BF et BC = BD ) et un angle égal (FBC = ABD ) ; ils sont donc identiques .

Aire de ABD = BD BI 2 et aire de BILD = BD BI donc aire de BILD = 2 Aire de ABD

De même , aire de BFGA = 2 Aire de FBC

Finalement , les triangles FBC et ABD étant identiques , on en déduit que : aire de BILD = aire de BFGA

De même , on montre que : aire de CILE = aire de ACKH

Or , aire de BCED = aire de BILD + aire de CILE

Donc : aire de BCED = aire de BFGA + aire de ACKH C’est-à-dire : BC² = AB² + BC²

Construction de la racine carrée d'un nombre de façon exacte

On part d’un triangle rectangle ayant pour côtés de l’angle droit 1 cm et 1 cm .

On construit alors le 3e côté du triangle rectangle de longueur cm.

En suivant la construction indiquée ci-dessus , on construit des segments de longueurs successivement égales à cm .

Réciproque du théorème de Pythagore

Rappelons son énoncé : «Si dans un triangle , le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés , alors ce triangle est rectangle » . Soit : si dans un triangle BC ² = AB ² + AC ² , alors ce triangle est rectangle en A .

Voir la démonstration