Introduction - La
numération - Evolution
du système de dénombrement - Les
jetons d argile - Les
gravures sur les tablettes d argile - Comment décoder les signes ?
Quand
ont-ils vécu ? d'environ 3.500 ans avant JC jusqu'au début
de notre ère , on retrouve des documents écrits aux alentours
de cette époque .
Où
? Babylone est située dans l'ancienne Mésopotamie ( actuel Irak )
bâtie il y a 2500 ans à 160 km de l'actuel Bagdad. Le Mésopotamie est la région
située entre les fleuves Euphrate et Tigre . Cette région est aujourd'hui
partagée entre deux pays , l'Irak et la Syrie. Entre 3.700 et 539 avant JC
, plusieurs civilisations se sont succédé en Mésopotamie : les Sumériens et
les Babyloniens entre autres.
Le
nom "Mésopotamie" a été donné par l'historien grec Ploybe (
IIe siècle avant JC ) et signifie " le pays entre les fleuves "
( "mesos" : milieu et "potamos " : fleuve" )
Les Sumériens sont les peuples de la Basse Mésopotamie . Les savoirs sumériens et babyloniens sont connus grâce aux nombreuses tablettes d'argile gravées en écriture cunéiforme ( en forme de " coins " ) relatant leur vie sociale , religieuse , culturelle et scientifique .A cette époque , l'argile abondait en Mésopotamie et ces tablettes servaient de cahiers d'exercices aux élèves. Tant que l'argile était humide , les calculs pouvaient être effacés et refaits .Une fois sèches , elles étaient abandonnées . Certaines étaient alors réutilisées dans les fondations de bâtiments où elles furent découvertes bien des siècles plus tard . Les mathématiques babyloniennes sont nées des besoins concrets de la comptabilité , de la finance et des poids et mesures.Plusieurs fouilles archéologiques ont permis dès le 19e siècle de retrouver des centaines de tablettes d'argile .
L'argile de ces tablettes , tendre et modelable , permettait des modifications et corrections , mais les inscritions s'effaçaient par simple frottement .La conservation des quelques 320 tablettes retrouvées est dûe à des incendies qui ont cuit l'argile . Celles-ci datent soit d'ente 1800 et 1500 avant JC , lors de la première dynastie babylonienne , sous le règne d'Hammurabi , soit d'entre 600 avant JC et 300 après JC pendant les périodes perse , hellénistique et romaine .
L'écriture serait née vers 3300 à Sumer et en Elam des nécessités de l'administration et du commerce. La gestion des troupeaux , des grains et des terres ; les ventes et les achats auraient peu à peu entraîné une comptabilité , des contrats ... dont le nombre et la complexité demandaient un enregistrement écrit. L'écriture est qualifiée de "cunéiforme" ( en forme de coin ) . Au début le sens de l'écriture était vertical de la droite vers la gauche ; puis vers 2600 il devint de gauche à droite et de haut en bas . Seule l'écriture sur les monuments restera verticale.
La numération est née du besoin d'écrire les nombres comme pour l'écriture .
La numération orale :
Elle est en base 60 . 60 et 1 sont désignés par le même terme : gesh ou geshta .
1: guesh | 20: nish | 600 : gesh-ou ( 60 10 ) |
2: min | 30: oushou ( 3 10 ) | 1200 : gesh-ou-min ( 600 2 ) |
3: esh | 40 : nimin , nin ( 2 20 ) | 1800 : gesh-ou-esh ( 600 3 ) |
4: limmou | 50 : ninnou , nin-ou ( 40+10) | ............ |
5: ia | 60 : gesh , geshta | 3600: shar |
6: ash | 120 : gesh-min ( 60 2 ) | 7200: shar-min ( 3600 2 ) |
7: imin ( 5+2) | 180 : gesh-esh ( 60 3 ) | ........ |
8: issou | ...... | 36 000 : shar-ou (3600 10 ) |
9: illimou (5+4) | ........ | |
10: ou | 216 000 : shar-gal |
Il subsiste des difficultés pour construire les noms de certains nombres . Par exemple , pour 70 : "gesh-ou" ( 60 + 10 ) mais cela signifie 600 ( 60 10 ). Faut-il alors dire ou-gesh ?
Plus tard , le nombre de ces calculi est inscrit sur le sachet , puis sur des tablettes d'argile .
Nous allons
voir comment faisaient les Sumériens pour dénombrer objets , bétail ....
Apparition : un peu avant
le XVIIIe siècle avant JC
numération
: additive
et de base
60 .
De 1 à 59 , la numération est additive c'est-à-dire que les deux signes existant ( pour le 1 et le 10 ) sont répétés autant de fois que nécessaire . Au delà de 59 , l'écriture devenait positionnelle : le signe du 1 eétait aussi le signe du 60 , du 60
Nécessité
d'un zéro ; il a existé plus tard.
On trouve essentiellement des résolutions de problèmes de la vie de tous les jours , il n'y avait pas de concept abstrait . Les problèmes sont :
Connaissances des Babyloniens :
Ils connaissaient des cas particuliers de triplets pythagoriciens comme (3;4;5) ; (6;8;10) avec nos notations actuelles en base 10 .Ils savaient seulement qu'ils pouvaient tracer des angles droits avec de tels nombres , aucun besoin de le justifier , cela leur paraissait naturel .
Ils connaissaient en géométrie :
Des
boules en argile creuses contenant des jetons d'argile de signification numérique
ont été retrouvées. Elles ont été remplacées plus tard par des tablettes gravées
, en argile . En effet , il fallait casser les boules pour en vérifier le
contenu , ce qui fut rapidement peu pratique .Ainsi , sont nés les plus vieux
chiffres connus de l'histoire. Des cercles et des encoches étaient utilisés
pour représenter des nombres. Quant à la nature du dénombrement , elle était
indiquée par un pictogramme.
Pour
graver sur les tablettes d'argile , ils utilisaient des calames de roseau.
On
remarquera que la bille à l'intérieur du grand cône ou de la sphère correspond
à une multiplication par 10.
exemple : pour représenter
le nombre 154 , décomposons 154 :
écrivons
la division euclidienne de 154 par 60 :
154
= 2 60
+ 34 = 2
60 + 3
10 + 4
Ainsi
, le nombre 154 était représenté de la façon suivante :
Vers
3100 avant JC , les tablettes d'argile étaient utilisées recto - verso :
¶
au recto : ils y inscrivaient les détails d'une opération
de comptabilisation
¶
au verso : ils y inscrivaient le total correspondant
, ainsi que le dessin correspondant au dénombrement effectué.
1°)
Comment trouver les significations des deux premiers signes ?
Après
de nombreuses vérifications et de multiples recoupements , ils ont pu déterminer
les signes correspondant à 1 et 10 .
2°)
Comment trouver le nombre 60 pour le 3e signe ?
Soit
x ce nombre cherché .
-
au recto , était gravé :
Ils
ont dénombré trois choses distinctes , soit en tout 10 + 5 + 30 + x + 40 =
x + 85
-
au verso , était gravé :
soit
en tout : 2x + 20 + 5 = 2 x + 25
Le
verso étant le récapitulatif du recto , on a donc : x + 85 = 2 x + 25
En
résolvant l'équation , on obtient bien : x = 60
Le principe
reste le même pour trouver les autres signes.
Ce sustème de numération sera sans cesse amélioré et deviendra plus lisible avec la vulgarisation , en Mésopotamie de l'écriture cunéiforme ,vers 2010 avant JC .
Il n'existait que deux signes pour représenter tous ces nombres ( nous avons , pour comparaison , les 10 chiffres pour écrire les nombres ) :
Ecrire 12 140 en base 60 , c'est comme convertir 12 140 secondes en heures , minutes et secondes .
( 12140 s =... h... min.. s avec chacun des trois nombres strictement inférieur à 60. Sur l'exemple ,
12 140 s = 3 h 22 min 20 s )
Ecriture en numération babylonienne :
De 1 à 9 , les chiffres sont obtenus par itération du symbole 1 .
De 10 à 59 , on répète les symboles 1 et 10 autant de fois que nécessaire , par addition .C'est la raison pour laquelle on l'appelle numération de position .
60 s'écrit à l'aide d'un symbole particulier : le même symbole que pour le 1 , d'où des confusions de lecture.
A partir de 61 , c'est la numération de position qui est appliquée , comme pour notre système de numération : la 1e colonne correspond aux unités , la 2e aux soixantaines , la 3e au rang des 6060 , la 4e au rang des 606060 ... Les savants utilisaient des signes de séparation entre les colonnes pour éviter les confusions .
.
Prenons un exemple : soit à effectuer la division 165 15 , c'est-à-dire : 165 .
On écrit 165 en base 60 : 165 = 2 60 + 45
donc 165 15 = 165 = 165 = ( 2 60 + 45 ) = ( 2 60 ) + 45 = 8 1 + 3 = 11
Tablette mathématique babylonienne montrant une table de multiplication
unités de longueur à Babylone
unités d'aires à Babylone
Unités de volume et de capacité
En ce qui concerne les unités de temps , un jour de 24 heures est divisé en 12 beru , soit 2 heures pour un beru .
1 beru = 30 gesh ( soit 360 gesh en 24 heures ( 360°) ; soit 1 gesh = 1 degré )