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Introduction - La numération - Evolution du système de dénombrement - Les jetons d argile - Les gravures sur les tablettes d argile - Comment décoder les signes ? - La numération en base 60 - - les opérations - en géométrie- unités de mesure


Quand ont-ils vécu ? d'environ 3.500 ans avant JC jusqu'au début de notre ère , on retrouve des documents écrits aux alentours de cette époque .

Où ? Babylone est située dans l'ancienne Mésopotamie ( actuel Irak ) bâtie il y a 2500 ans à 160 km de l'actuel Bagdad. Le Mésopotamie est la région située entre les fleuves Euphrate et Tigre . Cette région est aujourd'hui partagée entre deux pays , l'Irak et la Syrie. Entre 3.700 et 539 avant JC , plusieurs civilisations se sont succédé en Mésopotamie : les Sumériens et les Babyloniens entre autres.

Différents peuples se sont succédés dans cette région : les Sumériens et les Akkadiens , les Hittites , les Assyriens , les Chaldéens , les Perses qui furent renversés par les armées d'Alexandre le Grand. Les principales sources sur les mathématiques mésopotamiennes datent de l'époques des Sumériens et des Akkadiens , on les appelle mathématiques babyloniennes au vu de la place clé de Babylone à cette époque .

Le nom "Mésopotamie" a été donné par l'historien grec Ploybe ( IIe siècle avant JC ) et signifie " le pays entre les fleuves " ( "mesos" : milieu et "potamos " : fleuve" )

Les Sumériens sont les peuples de la Basse Mésopotamie . Les savoirs sumériens et babyloniens sont connus grâce aux nombreuses tablettes d'argile gravées en écriture cunéiforme ( en forme de " coins " ) relatant leur vie sociale , religieuse , culturelle et scientifique .A cette époque , l'argile abondait en Mésopotamie et ces tablettes servaient de cahiers d'exercices aux élèves. Tant que l'argile était humide , les calculs pouvaient être effacés et refaits .Une fois sèches , elles étaient abandonnées . Certaines étaient alors réutilisées dans les fondations de bâtiments où elles furent découvertes bien des siècles plus tard . Les mathématiques babyloniennes sont nées des besoins concrets de la comptabilité , de la finance et des poids et mesures.Plusieurs fouilles archéologiques ont permis dès le 19e siècle de retrouver des centaines de tablettes d'argile .

L'argile de ces tablettes , tendre et modelable , permettait des modifications et corrections , mais les inscritions s'effaçaient par simple frottement .La conservation des quelques 320 tablettes retrouvées est dûe à des incendies qui ont cuit l'argile . Celles-ci datent soit d'ente 1800 et 1500 avant JC , lors de la première dynastie babylonienne , sous le règne d'Hammurabi , soit d'entre 600 avant JC et 300 après JC pendant les périodes perse , hellénistique et romaine .

 

L'écriture serait née vers 3300 à Sumer et en Elam des nécessités de l'administration et du commerce. La gestion des troupeaux , des grains et des terres ; les ventes et les achats auraient peu à peu entraîné une comptabilité , des contrats ... dont le nombre et la complexité demandaient un enregistrement écrit. L'écriture est qualifiée de "cunéiforme" ( en forme de coin ) . Au début le sens de l'écriture était vertical de la droite vers la gauche ; puis vers 2600 il devint de gauche à droite et de haut en bas . Seule l'écriture sur les monuments restera verticale.


La numération est née du besoin d'écrire les nombres comme pour l'écriture .

La numération orale :

Elle est en base 60 . 60 et 1 sont désignés par le même terme : gesh ou geshta .

1: guesh 20: nish 600 : gesh-ou ( 60 10 )
2: min 30: oushou ( 3 10 ) 1200 : gesh-ou-min ( 600 2 )
3: esh 40 : nimin , nin ( 2 20 ) 1800 : gesh-ou-esh ( 600 3 )
4: limmou 50 : ninnou , nin-ou ( 40+10) ............
5: ia 60 : gesh , geshta 3600: shar
6: ash 120 : gesh-min ( 60 2 ) 7200: shar-min ( 3600 2 )
7: imin ( 5+2) 180 : gesh-esh ( 60 3 ) ........
8: issou ...... 36 000 : shar-ou (3600 10 )
9: illimou (5+4)   ........
10: ou   216 000 : shar-gal

 

Il subsiste des difficultés pour construire les noms de certains nombres . Par exemple , pour 70 : "gesh-ou" ( 60 + 10 ) mais cela signifie 600 ( 60 10 ). Faut-il alors dire ou-gesh ?

 

Les comptables sumériens utilisaient des boulettes d'argile , appelées "calculi" pour enregistrer les livraisons et les échanges .Elles étaient enfermées dans des sachets d'argile clos et authentifiés à l'aide d'un sceau .

 

Plus tard , le nombre de ces calculi est inscrit sur le sachet , puis sur des tablettes d'argile .

 Nous allons voir comment faisaient les Sumériens pour dénombrer objets , bétail ....

Apparition : un peu avant le XVIIIe siècle avant JC

numération : additive et de base 60 .

De 1 à 59 , la numération est additive c'est-à-dire que les deux signes existant ( pour le 1 et le 10 ) sont répétés autant de fois que nécessaire . Au delà de 59 , l'écriture devenait positionnelle : le signe du 1 eétait aussi le signe du 60 , du 60 60 ...

Ils ne connaissaient pas la virgule et n'avaient aucune notation équivalente ; c'est le contexte qui indiquait l'ordre de grandeur du nombre .

Nécessité d'un zéro ; il a existé plus tard.

Les tablettes babyloniennes sont de tailles variées : certaines font 5 cm de hauteur , d'autres 30 cm . Celles qui se sont le mieux conservées sont celles qui ont été cuites dans des incendies . Il y en a encore sans doute dans le Terre d'Irak .

 

Pour les opérations , ils possédaient des tables d'inverses ( diviser par un nombre revient à multiplier par son inverse ) , mais aussi des tables de carrés , de cubes , de sommes de carrés et de cubes , des tables logarithmiques .

 

On trouve essentiellement des résolutions de problèmes de la vie de tous les jours , il n'y avait pas de concept abstrait . Les problèmes sont :

 

Connaissances des Babyloniens :

Ils connaissaient des cas particuliers de triplets pythagoriciens comme (3;4;5) ; (6;8;10) avec nos notations actuelles en base 10 .Ils savaient seulement qu'ils pouvaient tracer des angles droits avec de tels nombres , aucun besoin de le justifier , cela leur paraissait naturel .

 

Ils connaissaient en géométrie :


Des boules en argile creuses contenant des jetons d'argile de signification numérique ont été retrouvées. Elles ont été remplacées plus tard par des tablettes gravées , en argile . En effet , il fallait casser les boules pour en vérifier le contenu , ce qui fut rapidement peu pratique .Ainsi , sont nés les plus vieux chiffres connus de l'histoire. Des cercles et des encoches étaient utilisés pour représenter des nombres. Quant à la nature du dénombrement , elle était indiquée par un pictogramme.

Pour graver sur les tablettes d'argile , ils utilisaient des calames de roseau.

impression sur argile molle des signes de la numération sumérienne


 
 

Les Sumériens utilisaient un mélange de base 10 et 60 pour représenter les nombres. Il existait six jetons : ( ces "calculi" datent de 7.000 ans avant JC )

On remarquera que la bille à l'intérieur du grand cône ou de la sphère correspond à une multiplication par 10.

exemple : pour représenter le nombre 154 , décomposons 154 :

écrivons la division euclidienne de 154 par 60 :

154 = 2 60 + 34 = 2 60 + 3 10 + 4

Ainsi , le nombre 154 était représenté de la façon suivante :


 

 Ces jetons furent donc remplacés par les signes suivants sur les tablettes à partir de la première moitié du 3e millénaire avant JC:


 

Vers 3100 avant JC , les tablettes d'argile étaient utilisées recto - verso :

     au recto : ils y inscrivaient les détails d'une opération de comptabilisation

     au verso : ils y inscrivaient le total correspondant , ainsi que le dessin correspondant au dénombrement effectué.

1°) Comment trouver les significations des deux premiers signes ?

Après de nombreuses vérifications et de multiples recoupements , ils ont pu déterminer les signes correspondant à 1 et 10 .

2°) Comment trouver le nombre 60 pour le 3e signe ?

Soit x ce nombre cherché .

- au recto , était gravé :

Ils ont dénombré trois choses distinctes , soit en tout 10 + 5 + 30 + x + 40 = x + 85

- au verso , était gravé :

soit en tout : 2x + 20 + 5 = 2 x + 25

Le verso étant le récapitulatif du recto , on a donc : x + 85 = 2 x + 25

En résolvant l'équation , on obtient bien : x = 60

 Le principe reste le même pour trouver les autres signes.


 

Ce sustème de numération sera sans cesse amélioré et deviendra plus lisible avec la vulgarisation , en Mésopotamie de l'écriture cunéiforme ,vers 2010 avant JC .

Il n'existait que deux signes pour représenter tous ces nombres ( nous avons , pour comparaison , les 10 chiffres pour écrire les nombres ) :

 

Ecrire 12 140 en base 60 , c'est comme convertir 12 140 secondes en heures , minutes et secondes .

( 12140 s =... h... min.. s avec chacun des trois nombres strictement inférieur à 60. Sur l'exemple ,

12 140 s = 3 h 22 min 20 s ) .On écrira donc 12140 en base 60 de la façon suivante : [ 3 ; 22 ; 20 ],

sous-entendu : 3 3600 + 22 60 + 20

 

Ecriture en numération babylonienne :

De 1 à 9 , les chiffres sont obtenus par itération du symbole 1 .

De 10 à 59 , on répète les symboles 1 et 10 autant de fois que nécessaire , par addition .C'est la raison pour laquelle on l'appelle numération de position .

60 s'écrit à l'aide d'un symbole particulier : le même symbole que pour le 1 , d'où des confusions de lecture.

A partir de 61 , c'est la numération de position qui est appliquée , comme pour notre système de numération : la 1e colonne correspond aux unités , la 2e aux soixantaines , la 3e au rang des 6060 , la 4e au rang des 606060 ... Les savants utilisaient des signes de séparation entre les colonnes pour éviter les confusions .

 

Ce système a engendré beaucoup d'erreurs : les nombres 63- 4 - 3603 - 3662 étaient représentés par les même symboles dans le même ordre . Seul le contexte permettait de comprendre le nombre .

.

Le symbole désignant le vide n'existait pas encore , on signalait donc par un espace l'absence d'unités d'un certain ordre , d'où la confusion entre toutes ces écritures .

Ce ne sera que vers IV siècle que sera inventé le zéro le plus vieux de l'histoire de l'humanité .


Prenons un exemple : soit à effectuer la division 165 15 , c'est-à-dire : 165 .

On écrit 165 en base 60 : 165 = 2 60 + 45

donc 165 15 = 165 = 165 = ( 2 60 + 45 ) = ( 2 60 ) + 45 = 8 1 + 3 = 11

Tablette mathématique babylonienne montrant une table de multiplication



 

unités de longueur à Babylone

unités d'aires à Babylone

Unités de volume et de capacité

unités de masse

 

En ce qui concerne les unités de temps , un jour de 24 heures est divisé en 12 beru , soit 2 heures pour un beru .

1 beru = 30 gesh ( soit 360 gesh en 24 heures ( 360°) ; soit 1 gesh = 1 degré )