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Avant le symbolisme - premières méthodes de résolutions - équations du troisième degré - usage des lettres - équations de degré supérieur ou égal à 5 - évolution des écritures (1) - évolution des écritures (2) - conclusion

Avant l'invention des équations , les résolutions de problèmes étaient compliquées puisque des phrases expliquaient chacune des étapes de résolution ( qui étaient essentiellement géométriques ) .Avant d'écrire une équation sous la forme actuelle , diverses écritures ont été employées .

2000 ans avant JC , on résolvait déjà des équations afin de faire le partage des récoltes entre le Pharaon , les prêtres et les ouvriers . Mais il n'existait aucune méthode générale pour les résoudre ; les équations étaient résolues en faisant une suite de calculs sans justification .  Depuis l'Antiquité sont résolues des équations du premier et second degré .

Les Indiens employaient des noms de couleurs pour des inconnues.

Diophante , mathématicien grec du IIIe siècle , résout des équations en cherchant un nombre inconnu désigné par un symbole particulier. Mais tout était sous forme de phrases , les notations actuelles n'existaient pas encore .

Les mathématiciens arabes du IXe au XIVe siècle ont joué un rôle important dans l'évolution des méthodes de résolution des équations . Cependant , les méthodes de résolution étaient compliquées car ils ne disposaient pas des notations actuelles, et faisaient des phrases . C'est Al-Khwarizmi qui , au IXe siècle , propose une méthode de résolution des équations écrite ci-dessous en notation modernes :

-      « al- jabr »   ( signifiant "réparations,remise en place".C'est d'ailleurs de ce mot que dérive " algèbre" ) . « On enlève les signes moins en ajoutant un même nombre aux deux membres d'une équation» . Par exemple , 8 x - 5 = 4 x + 11 devient 8 x = 4 x + 16 en ajoutant 5 dans les deux membres

-   «  al - muqalaba » :    « On soustrait les termes qui figurent à la fois dans les deux membres » ( sur l'exemple précédent ,  4 x = 16 en soustrayant 4 x dans chaque membre )

-  «  al - hatt  » , méthode consistant à multiplier ou diviser chaque membre par un même nombre . (sur l'exemple précédent ,  x = 4 en divisant par 4 dans chaque membre )

Cette méthode est la méthode de résolution utilisée de nos jours .

Al - Khwarizmi traite des équations provenant de problèmes d'héritage .L'inconnue est appelée " gizr" ( racine ) et " chay" ( chose ) . Il appelle " mal" ( sigifiant " possession " ) le terme x² et " kab" ( " cube " ) celui en . Il avait remarqué que tous les problèmes auxquels ses prédécesseurs avaient trouvé des solutions exactes se ramenaient à 6 équations Il ramène donc toutes les équations du premier et du second degré à six formes canoniques : ax² = bx ; a x² = c ; a x = b ; x² + b x = c ; x² + c = b x ; b x + c = x² .Il n'accepte ni les solutions nulles , ni les solutions négatives .

Plus tard , grâce à l'usage des chiffres , les écritures s'allègent puisque qu'on cesse d'écrire les nombres en toutes lettres . Ce ne sera qu'à la fin du XVIe siècle qu'on utilisera progressivement les symboles que nous utilisons aujourd'hui : + ; - ; ´ ; ¸       ,  = ; < ; > 

Après Al - Khwarizmi , on connaissait 14 équations de degré inférieur ou égal à trois et qu'on ne pouvait pas ramener aux six équations canoniques d'Al - Khwarizmi.

Le Persan Omar Khayyam , né vers 1048 , publie un livre de mathématiques dans lequel il présente une solution des 14 équations du troisième degré . Cependant , il utilisait la géométrie , notamment les intersections de coniques . Par exemple , , ce qui correspond à l'intersection d'une parabole avec une hyperbole . Cependant , les solutions ne sont qu'approximatives ; elles permettent toutefois de trouver le nombre de solutions , leur signe . La solution plus précise peut s'obtenir par dichotomie . Il ne traite que les équations avec des coefficients positifs et ne considère que les solutions positives ( les nombres négatifs n'existant pas encore )

Cette méthode permettait aussi de résoudre les équations du second degré . En effet ,, ce qui correspond à l'intersection d'une droite avec une hyperbole .

Scipion Del Ferro ( 1465 - 1526 ), professeur de mathématiques de Bologne , fournit pour la première fois dans toute l'histoire des mathématiques , la solution positive d'une équation du troisième degré . Mais il emporte avec lui sa méthode dans sa tombe . L'équation :

Quelques décennies plus tard , Tartaglia ( de son vrai nom Niccolo Fontana : environ 1500 - 1557 ) résout plusieurs équations de ce type .A l'âge de 13 ans , il échappe à la soldatesque française qui entre dans la ville de Brescia en Italie ; il se réfugie alors avec sa famille dans la cathédrale . Malheureusement , les soudards massacrent son père sous ses yeux et lui assènent un coup d'épée qui lui brise le crâne et lui fend le palais . Cet événement est à l'origine de son bégaiement qui ne disparaîtra jamais . Il est retrouvé à demi-mort par sa mère .

En une nuit , il résout 30 problèmes aboutissant à des équations du troisième degré et remporte le concours . Il révèle sa méthode à Cardan " Tu veux résoudre l'équation et un cube et des choses égalent un nombre donné . Trouve deux nombres dont la différence est le nombre donné et dont le produit est le cube du tiers des choses . Alors la solution est la différence des racines cubiques des deux nombres " . Ce dernier publie la méthode de Tartaglia .

Bombelli ( 1526 - 1573 ) trouvera toutes les solutions à toutes les équations du troisième degré en introduisant de nouveaux nombres : les nombres négatifs et les nombres imaginaires. Il trouvera également les solutions des équations du quatrième degré en appliquant les méthodes des équations du troisième degré .

Le mot "équation" n'est apparu qu'en 1740 dans le dictionnaire .

Jusqu'au XVIe siècle , on utilise le mot "res" ou "cosa" pour désinger l'inconnue d'une équation .L'usage des lettres pour les équations fut instauré au XVIe siècle par Viète ( conseiller d'Henri IV ) : il désigna les inconnues par des voyelles. Et Descartes au XVIIe siècle utilisera la fin de l'alphabet  z , y , x ... pour désigner les inconnues , et le début de l'alphabet ( a ; b ; c ... ) pour les données. Les équations sont alors écrites sous l'aspect que nous lui conaissons de nos jours .

Descartes démontre qu'une équation du second degré y = a x² + bx + c définit un cercle , une ellipse ou une hyperbole selon les valeurs de a ; b et c .

x est l'initiale de « xay » , mot espagnol , déformation de « chay » signifiant « chose » en arabe.

En 1826 , Abel , mathématicien norvégien , montre qu'une équation du cinquième degré ou plus ne peut se résoudre par radicaux . ( pas de solutions générales comme pour les équations du second degré ) .

Au début du XVIIe siècle , Albert de Girard suppose que les équations du n-ième degré ont toujours n solutions ( réelles ou complexes ) éventuellement confondues ; ceci n'a été démontré qu'à la fin du XVIIIe siècle par Gauss.

Evariste Galois établit à quelle condition une équation algébrique de degré quelconque est soluble par radicaux .

Considérons l'équation que nous notons aujourd'hui 12 + 5 x = 20 et voyons l'évolution de l'écriture d'une telle équation au cours du temps .

-         Les Egyptiens et les babyloniens ne savaient pas écrire une telle équation mais ils savaient résoudre un problème s'y ramenant .

-         Au IIIe siècle , Diophante écrivait :                                               1     

-         Au XVe siècle , Nicolas Chuquet ( Français ) :                        12°   p   51  egault 20°

-         Au XVIe siècle , François Viète (Français )     :                       12 + 5 in A aequatur 20

-         Au XVIe siècle , Tartaglia ( Italien ) :                                      12  N  p  5  R  equale  20  N

-         Au début du XVIIe siècle , René Descartes ( Français ) :     12 + 5 z  20

Et voici ce que signifiait chacun des sigles employés :

Ainsi , 3 x ² + 4 x s'écrivait : 3 q p 4 R

 

Considérons l'équation que nous notons aujourd'hui x ² - 5 x = 23 et voyons l'évolution de l'écriture d'une telle équation au cours du temps .

  Diophante , au IIIe siècle :        x

   1494                             :  Trouve-moi un nombre dont le double du carré diminué de cinq fois lui-même fait vingt-trois  

 1525                              :  2  z  aequatus 5 x + 23

  1545                            :  duo quad m qumque reb aequalis 23

  1559                           :   2 ¯ M  p  = 23  

  1572                         :  2 m  5 ² equale  a  23

 1577                         :  2  Q  M  5  L  aequalia  23

  1580                        :  2  Q  - 5  N aequatur  23

  1586                       :  2 q - 5 l aequatur  sit  23

*  1600                       :  2 a q  - 5 a    aeq 23

  1629                       :   2 ( 2 ) - 5 ( 1 ) = 23 ( 0 )

  1631                      :  2 a a  - 5 a = = = = 23

  1634                      :  2 a 2 ~ 5 a  2 / 2      23

  1635                      : 2 A q  - 5 a  égal à 23    ou  2 zz - 5 z µ 23

  XVIIIe siècle          :  2 x x - 5 x = 23

        source : M . Plane (Auxerre )

En conclusion , il a fallu 2000 ans pour dégager les procédés de résolution des équations du premier et du second degré ; environ huit siècles pour trouver les solutions des équations du troisième degré , et seulement quelques années pour trouver celles du quatrième degré . Cependant , aucune solution générale ne fut trouvée pour les équations du cinquième degré et plus .