Qui est Cardan ? - Cardan et les équations    

Qui est Cardan ?

Cardan est né le 24 septembre 1501 à Pavie . Son père était juriste et mathématicien . Jérome Cardan était mathématicien , médecin , astrologue et joueur . Son fils aîné a empoisonné son épouse et a donc été condamné à l'exécution capitale. Quant à son fils cadet , il le vola pour payer une de ses nombreuses dettes de jeu , Cardan porta plainte et son fils fut banni .

Il décida de se consacrer à la médecine mais on lui refuse l’entrée du collège des médecins de Milan car c’est un enfant illégitime ; on pense aussi qu'il a été refusé à cause de son franc-parler et de son caractère difficile . Il y fut finalement admis en août 1539 suite aux modifications des règles en cours. Il enseigna la Médecine à Milan et à Pavie . Il soigna l'archevêque de Saint-Andrew en Ecosse , et de ce fait il fut nommé professeur de médecine à l'université de pavie . C’est l’un des meilleurs médecins de son temps.

Il publia «  De vita propria  liber »  ( le livre de ma vie ) qui est une autobiographie .

Il a montré que le rapport entre la densité de l’air et de l’eau est égale à  .

En 1541 , il a équipé la voiture royale de l’empereur Charles Quint d’une suspension composée de deux arbres dont le mouvement de roulement éviterait qu’elle ne basculât . De nos jours , ce système de suspension s’appelle le « cardan » .

Cardan publia en 1545 « Ars Magna » , livre consacré à la résolution des équations du troisième et du quatrième degré. Les mathématiciens arabes s’étaient arrêtés à la résolution des équations du second degré et de quelques équations du troisième degré.Il faut préciser que Cardan réussit à " arracher " à Tartaglia la solution des équations du troisième degré ; ce dernier lui révéla la solution en 1539 sous la forme d'un poème crypté à condition que Cardan promette de ne jamais la publier . Hélas , Cardan n'aura pas tenu sa promesse . Il compléta les recherches de Tartaglia et fournit la résolution des équations du troisième degré , résolubles par radicaux .

Cardan ne put rejeter lors de ses recherches les racines carrées de nombres négatifs . Il donna une condition pour qu'une équation du troisième degré admette des solutions complexes sans aller plus loin sur les nouveaux nombres.

   Méthode utilisée par Cardan pour résoudre l’équation : x^3 + a x = b

On cherche une solution sous la forme

Alors :   et (*)

Or :

Donc (*) s’écrit :

           Choisissons  à partir de (a ; b ) pour que (*) coïncide avec x^3 + a x = b

           Selon le théorème de Viète , sont les racines de l’équation du second degré :

          Comme on cherche les racines positives de l’équation x^3 + a x = b , >  donc :

               et   donc  

x =  -

è    L’équation : x^3 = a x + b  peut être résolue si on utilise la substitution

è    L’équation : x^3 + b  = a x peut être résolue en faisant intervenir les nombres négatifs. Il les appela nombres imaginaires .

è    Il résolut aussi l’équation x^3+ a x ² + b x + c = 0 en posant x = y -  , on supprime le membre en x².