Accès rapide :

Introduction - La numération - Evolution du système de dénombrement - Les jetons d argile - Les gravures sur les tablettes d argile - Comment décoder les signes ? - La numération en base 60 - - les opérations - en géométrie- unités de mesure

---

Quand ont-ils vécu ? d'environ 3.500 ans avant JC jusqu'au début de notre ère , on retrouve des documents écrits aux alentours de cette époque .

Où ? Babylone est située dans l'ancienne Mésopotamie ( actuel Irak ) bâtie il y a 2500 ans à 160 km de l'actuel Bagdad. Le Mésopotamie est la région située entre les fleuves Euphrate et Tigre . Cette région est aujourd'hui partagée entre deux pays , l'Irak et la Syrie. Entre 3.700 et 539 avant JC , plusieurs civilisations se sont succédé en Mésopotamie : les Sumériens et les Babyloniens entre autres.

Différents peuples se sont succédés dans cette région : les Sumériens et les Akkadiens , les Hittites , les Assyriens , les Chaldéens , les Perses qui furent renversés par les armées d'Alexandre le Grand. Les principales sources sur les mathématiques mésopotamiennes datent de l'époques des Sumériens et des Akkadiens , on les appelle mathématiques babyloniennes au vu de la place clé de Babylone à cette époque .

Le nom "Mésopotamie" a été donné par l'historien grec Ploybe ( IIe siècle avant JC ) et signifie " le pays entre les fleuves " ( "mesos" : milieu et "potamos " : fleuve" )

Les Sumériens sont les peuples de la Basse Mésopotamie . Les savoirs sumériens et babyloniens sont connus grâce aux nombreuses tablettes d'argile gravées en écriture cunéiforme ( en forme de " coins " ) relatant leur vie sociale , religieuse , culturelle et scientifique .A cette époque , l'argile abondait en Mésopotamie et ces tablettes servaient de cahiers d'exercices aux élèves. Tant que l'argile était humide , les calculs pouvaient être effacés et refaits .Une fois sèches , elles étaient abandonnées . Certaines étaient alors réutilisées dans les fondations de bâtiments où elles furent découvertes bien des siècles plus tard . Les mathématiques babyloniennes sont nées des besoins concrets de la comptabilité , de la finance et des poids et mesures.Plusieurs fouilles archéologiques ont permis dès le 19e siècle de retrouver des centaines de tablettes d'argile .

L'argile de ces tablettes , tendre et modelable , permettait des modifications et corrections , mais les inscritions s'effaçaient par simple frottement .La conservation des quelques 320 tablettes retrouvées est dûe à des incendies qui ont cuit l'argile . Celles-ci datent soit d'ente 1800 et 1500 avant JC , lors de la première dynastie babylonienne , sous le règne d'Hammurabi , soit d'entre 600 avant JC et 300 après JC pendant les périodes perse , hellénistique et romaine .

 

L'écriture serait née vers 3300 à Sumer et en Elam des nécessités de l'administration et du commerce. La gestion des troupeaux , des grains et des terres ; les ventes et les achats auraient peu à peu entraîné une comptabilité , des contrats ... dont le nombre et la complexité demandaient un enregistrement écrit. L'écriture est qualifiée de "cunéiforme" ( en forme de coin ) . Au début le sens de l'écriture était vertical de la droite vers la gauche ; puis vers 2600 il devint de gauche à droite et de haut en bas . Seule l'écriture sur les monuments restera verticale.

---

La numération est née du besoin d'écrire les nombres comme pour l'écriture .

La numération orale :

Elle est en base 60 . 60 et 1 sont désignés par le même terme : gesh ou geshta .

Les comptables sumériens utilisaient des boulettes d'argile , appelées "calculi" pour enregistrer les livraisons et les échanges .Elles étaient enfermées dans des sachets d'argile clos et authentifiés à l'aide d'un sceau .

 

Plus tard , le nombre de ces calculi est inscrit sur le sachet , puis sur des tablettes d'argile .

 Nous allons voir comment faisaient les Sumériens pour dénombrer objets , bétail ....

Apparition : un peu avant le XVIIIe siècle avant JC

numération : additive et de base 60 .

De 1 à 59 , la numération est additive c'est-à-dire que les deux signes existant ( pour le 1 et le 10 ) sont répétés autant de fois que nécessaire . Au delà de 59 , l'écriture devenait positionnelle : le signe du 1 eétait aussi le signe du 60 , du 60 60 ...

Ils ne connaissaient pas la virgule et n'avaient aucune notation équivalente ; c'est le contexte qui indiquait l'ordre de grandeur du nombre .

Nécessité d'un zéro ; il a existé plus tard.

Les tablettes babyloniennes sont de tailles variées : certaines font 5 cm de hauteur , d'autres 30 cm . Celles qui se sont le mieux conservées sont celles qui ont été cuites dans des incendies . Il y en a encore sans doute dans le Terre d'Irak .

 

Pour les opérations , ils possédaient des tables d'inverses ( diviser par un nombre revient à multiplier par son inverse ) , mais aussi des tables de carrés , de cubes , de sommes de carrés et de cubes , des tables logarithmiques .

 

On trouve essentiellement des résolutions de problèmes de la vie de tous les jours , il n'y avait pas de concept abstrait . Les problèmes sont :

 

Ils connaissaient des cas particuliers de triplets pythagoriciens comme (3;4;5) ; (6;8;10) avec nos notations actuelles en base 10 .Ils savaient seulement qu'ils pouvaient tracer des angles droits avec de tels nombres , aucun besoin de le justifier , cela leur paraissait naturel .

 

Ils connaissaient en géométrie :

---

Des boules en argile creuses contenant des jetons d'argile de signification numérique ont été retrouvées. Elles ont été remplacées plus tard par des tablettes gravées , en argile . En effet , il fallait casser les boules pour en vérifier le contenu , ce qui fut rapidement peu pratique .Ainsi , sont nés les plus vieux chiffres connus de l'histoire. Des cercles et des encoches étaient utilisés pour représenter des nombres. Quant à la nature du dénombrement , elle était indiquée par un pictogramme.

Pour graver sur les tablettes d'argile , ils utilisaient des calames de roseau.

impression sur argile molle des signes de la numération sumérienne

---

 

Les Sumériens utilisaient un mélange de base 10 et 60 pour représenter les nombres. Il existait six jetons : ( ces "calculi" datent de 7.000 ans avant JC )

On remarquera que la bille à l'intérieur du grand cône ou de la sphère correspond à une multiplication par 10.

exemple : pour représenter le nombre 154 , décomposons 154 :

écrivons la division euclidienne de 154 par 60 :

154 = 2 60 + 34 = 2 60 + 3 10 + 4

Ainsi , le nombre 154 était représenté de la façon suivante :

---

 

 Ces jetons furent donc remplacés par les signes suivants sur les tablettes à partir de la première moitié du 3e millénaire avant JC:

---

 

Vers 3100 avant JC , les tablettes d'argile étaient utilisées recto - verso :

¶     au recto : ils y inscrivaient les détails d'une opération de comptabilisation

¶     au verso : ils y inscrivaient le total correspondant , ainsi que le dessin correspondant au dénombrement effectué.

1°) Comment trouver les significations des deux premiers signes ?

Après de nombreuses vérifications et de multiples recoupements , ils ont pu déterminer les signes correspondant à 1 et 10 .

2°) Comment trouver le nombre 60 pour le 3e signe ?

Soit x ce nombre cherché .

- au recto , était gravé :

Ils ont dénombré trois choses distinctes , soit en tout 10 + 5 + 30 + x + 40 = x + 85

- au verso , était gravé :

soit en tout : 2x + 20 + 5 = 2 x + 25

Le verso étant le récapitulatif du recto , on a donc : x + 85 = 2 x + 25

En résolvant l'équation , on obtient bien : x = 60

 Le principe reste le même pour trouver les autres signes.

---

 

Ce sustème de numération sera sans cesse amélioré et deviendra plus lisible avec la vulgarisation , en Mésopotamie de l'écriture cunéiforme ,vers 2010 avant JC .

Il n'existait que deux signes pour représenter tous ces nombres ( nous avons , pour comparaison , les 10 chiffres pour écrire les nombres ) :

 

Ecrire 12 140 en base 60 , c'est comme convertir 12 140 secondes en heures , minutes et secondes .

( 12140 s =... h... min.. s avec chacun des trois nombres strictement inférieur à 60. Sur l'exemple ,

12 140 s = 3 h 22 min 20 s ) .On écrira donc 12140 en base 60 de la façon suivante : [ 3 ; 22 ; 20 ],

sous-entendu : 3 3600 + 22 60 + 20

 

Ecriture en numération babylonienne :

De 1 à 9 , les chiffres sont obtenus par itération du symbole 1 .

De 10 à 59 , on répète les symboles 1 et 10 autant de fois que nécessaire , par addition .C'est la raison pour laquelle on l'appelle numération de position .

60 s'écrit à l'aide d'un symbole particulier : le même symbole que pour le 1 , d'où des confusions de lecture.

A partir de 61 , c'est la numération de position qui est appliquée , comme pour notre système de numération : la 1e colonne correspond aux unités , la 2e aux soixantaines , la 3e au rang des 6060 , la 4e au rang des 606060 ... Les savants utilisaient des signes de séparation entre les colonnes pour éviter les confusions .

 

Ce système a engendré beaucoup d'erreurs : les nombres 63- 4 - 3603 - 3662 étaient représentés par les même symboles dans le même ordre . Seul le contexte permettait de comprendre le nombre .

.

Le symbole désignant le vide n'existait pas encore , on signalait donc par un espace l'absence d'unités d'un certain ordre , d'où la confusion entre toutes ces écritures .

Ce ne sera que vers IV siècle que sera inventé le zéro le plus vieux de l'histoire de l'humanité .

---

---

---

 

unités de longueur à Babylone

unités d'aires à Babylone

Unités de volume et de capacité

unités de masse

 

En ce qui concerne les unités de temps , un jour de 24 heures est divisé en 12 beru , soit 2 heures pour un beru .

1 beru = 30 gesh ( soit 360 gesh en 24 heures ( 360°) ; soit 1 gesh = 1 degré )

---