Sa vie en bref

Pierre Fermat est né en 1601 à Beaumont-de-Lomagne au nord-ouest de Toulouse , et mort en 1665 à Castres . Son père est consul de cette ville fortifiée et un de ses oncles est capitoul à Toulouse , deux signes de notoriété dans cette région ( consul et capitoul sont deux magistrats municipaux , le second étant réservé à la magistrature de Toulouse) .

Il fait ses études à Toulouse , acquiert une bonne maîtrise des langues : espagnol , italien , latin et grec . Il obtient son bac en droit civil à Orléans . Il . En 1630 , il achète un office de conseiller du roi au parlement de Toulouse et de commissaire des requêtes du Palais . Il accède peu à peu aux postes les plus élevés du parlement : la Chambre criminelle et la grand Chambre . A partir de 1648 , il est membre de la Chambre de l'Edit de Castres dont le rôle est de régler les différends ente protestants et catholiques.

En tant que parlementaire , Pierre Fermat peut ajouter la particule de noblesse et s'appelle désormais Pierre de Fermat . Il gère un domaine de 140 hectares ( culture , vignes ..) dans sa propriété de Beaumont-de-Lomagne , ce qui lui assure des revenus confortables.

En 1631 , il épouse Louise de Long , fille d'un conseiller au parlement de Toulouse , et avec laquelle il aura cinq enfants.


Fermat est à l'origine de ...

Fermat était magistrat et faisait des mathématiques pendant ses loisirs . Il n'a rédigé aucune oeuvre complète . Il n'écrit jamais une démonstration entière , il se contente d'en indiquer le principe et en donne les grandes étapes .

Il est , avec Descartes mais indépendemment , à l'origine de la géométrie analytique . Il énonce en 1637 un théorème sur les problèmes d'extremums : " Si une fonction numérique f dérivable sur ] a ; b [ admet un extremum en un point c de cet intervalle , alors f ' ( c ) = 0 " .

Il est également à l'origine du calcul infinitésimal , du calcul des probabilités ( formule des combinaisons ) et de la théorie des nombres.

En calcul intégral , on lui doit des calculs d'aires dont les méthodes sont inspirées d'Archimède.

Dès 1640 , il s'intéressa aux carrés magiques .

 


A propos du fameux " théorème de Fermat " ...

Fermat étudie l'oeuvre de Diophante " Arithmétiques" et écrit " D'autre part , un cube n'est jamais la somme de deux cubes , une puissance quatrième n'est jamais la somme d'une puissance quatrième et plus généralement aucune puisance supérieure à deux n'est la somme de deux puissances analogues . J'ai trouvé une merveilleuse démonstration de cette proposition , mais la marge est trop étroite pour la contenir".

Autrement dit , en langage moderne , l'équation n'a pas de solution dans l'ensemble des nombres entiers naturels non nuls si n est un nombre entier supérieur ou égal à trois.


Fermat donna une démonstration de ce théorème pour n = 4 .

Il utilisa la méthode de descente infinie et supposa que l'équation admet des solutions . Un triplet ( x ; y ; z ) vérifierait le théorème de Pythagore dont les deux côtés de l'angle droit seraient eux-mêmes des carrés . Il appliqua les formules classiques des triangles pythagoriciens et après quelques simples déductions , trouva qu'il y avait une autre solution de , avec des valeurs plus petites non nulles pour x , y et z . Continuant de la sorte , il arriva à la conclusion que l'existence d'une solution quelconque impliquerait celle d'une autre avec des entiers non nuls les plus petits possibles , c'est-à-dire x = 1 et y = 1 , ce qui n'est pas une solution car 2 n'est pas un carré . L'équation n'a donc pas de solution , et donc en particulier l'équation car toute puissance quatrième de z est aussi un carré de z² .

Fermat démontre ainsi ce théorème pour tous les exposants multiples de 4 . En effet , raisonnons par l'absurde . Supposons qu'il existe un multiple de 4 noté 4 k pour lequel l'équation a une solution ; on a alors et donc les nombres seraient solution du cas n = 4 . Or , il n'y a pas de solution pour n = 4 . De plus , tout entier strictement plus grand que 2 est soit multiple de 4 , soit multiple d'un nombre premier impair . Il reste donc à démontrer le théorème pour un nombre entier premier impair .

Méthode de descente infinie ( dûe à Fermat ) : Il s'agit d'un raisonnement par l'absurde . Etant donné un problème portant sur une propriété de nombres entiers naturels : on suppose d'abord que ce problème a une solution en nombres entiers naturels ; puis on démontre qu'il existe alors une autre solution formée d'entiers naturels strictement plus petits , et la contradiction vient du fait qu'il ne peut exister de suite infinie strictement décroissante d'entiers naturels .


Et pour le cas général ...

Puis , les mathématiciens essayèrent de démontrer la conjecture exposant par exposant . Euler démontra le théorème pour n = 3 ; Dirichlet pour n = 5 en 1828 . Gabriel Lamé proposa une démonstration pour n = 7 en 1839 ; celle-ci fut corrigée par Liouville en 1840 car elle contenait quelques erreurs.

L'allemand Kummer démontra le théorème pour les exposants nombres premiers inférieurs à 100 ; excepté pour 37 ; 59 et 67 . Il utilisa sa nouvelle théorie des nombres idéaux .

C'est le mathématicien anglais Andrew Wiles qui démontrera ce théorème en 1993 .