pb ouvert

L'objectif des problèmes ouverts est d'initier nos élèves aux démarches scientifiques par la recherche de solution à des problèmes dont la solution n'est pas évidente à priori et sans les guider par un questionnement successif. Les élèves devront tester, conjecturer, se corriger, revenir en arrière...

Ce type de problème peut favoriser la prise d'initiative, la rédaction et le goût des mathématiques. Sa formulation est bien souvent simple dans son vocabulaire

L'équipe de l'IREM de LYON propose la définition suivante :

Un problème ouvert est un problème qui possède les caractéristiques suivantes :

- l'énoncé est court.
- l'énoncé n'induit ni la méthode, ni la solution (pas de questions intermédiaires ni de questions du type "montrer que"). En aucun cas, cette solution ne doit se réduire à l'utilisation ou l'application immédiate des derniers résultats présentés en cours.
- le problème se trouve dans un domaine conceptuel avec lequel les élèves ont assez de familiarité. Ainsi, peuvent-ils prendre facilement "possession" de la situation et s'engager dans des essais, des conjectures, des projets de résolution, des contre-exemples.

Exemple de problème ouvert :

Cycle 3/6ème - Activité 6 – Problèmes ouverts : Poules et moutons

Situation problème pouvant être proposée à des cycles 3 et aux premières années du collège.

Enoncé Cycle 3
Un fermier part compter ses poules et ses moutons. Quand il revient, il dit à sa famille :
«j’ai compté 40 têtes et 134 pattes »
Combien a-t-il de poules et de moutons ?
Objectifs
Développer chez les élèves un comportement de recherche
Développer des capacités à chercher, abstraire, raisonner, prouver et modéliser.

Compétences développées :
- Chercher et produire une solution personnelle dans un problème de recherche
- Formuler et communiquer sa démarche
- Argumenter à propos de la validité d’une solution produite par soi-même ou par un camarade.
- Savoir écouter et respecter la parole d’autrui.

Modalités de mise en œuvre de l’activité
- recherche individuelle (10-15 minutes)
- recherche par deux (20-25 minutes)
- recherche par groupes de 4 ou 5 (30-35 minutes)
- synthèse collective (25-30 minutes)

Procédures rencontrées
1. Une résolution par dessins ou schémas
2. Une résolution par symboles (lettres, croix, nombres…)
3. Ecrire en toutes lettres les solutions

Principaux obstacles à la résolution
Les élèves doivent gérer en même temps deux contraintes (les têtes et les pattes) et, quand une est exacte, l’autre est erronée.
Ils mélangent les deux contraintes ou effectuent des calculs inutiles.
Pour limiter la dispersion des démarches des élèves, la calculatrice a été autorisée.

Commentaires
Pour des CM1& CM2, les nombres (40 et 134) étaient trop grands, par contre pour les CE2, ceux qui ont été choisis (10 et 34) étaient trop petits et ne permettaient pas un travail de groupe car 80% des élèves ont réussi à trouver seuls la solution.