Aide individualisée

Propriétés, réciproques, contraposées.

Objectif : Reprendre les théorèmes et propriétés du collège pour bien faire apparaître les différences entre l’implication, la réciproque et la contraposée.

Objectifs sous jacents : révisions et/ou ré acquisitions des fondamentaux du collège. Remédiation pour la rédaction.

A partir du théorème de Pythagore, dont on rappelle un énoncé oralement, je demande à mes élèves d’effectuer trois exercices classiques utilisant les trois propositions  .

Je les laisse faire sans commentaires particuliers de ma part sur la rédaction ou la présentation des résultats. Dans l’ensemble, ces exercices ne posent pas de problème de fond pour le groupe présent.

Un élève va au tableau rédiger la solution suivante :

Si MN² +NP² = MP² alors c’est un triangle rectangle.

MN²+NP² = 25 + 16 = 36 = MP²

Donc 41 ≠ 36 et il est pas rectangle.

Les élèves de leur place commentent et corrigent l’erreur pour obtenir une rédaction plus fluide et mathématiquement correcte

Il s’ensuit une discussion sur le « sens » de Pythagore et l’utilité de différentier les écritures car certains élèves ne font pas la différence entre les trois propositions possibles. On engage une discussion sur quelle proposition pour quel type d’exercice et pour quelle rédaction.

Ensuite, je leur demande de me donner avec la proposition de Thalès, les trois sens possibles, ce qui ne pose pas de gros problèmes et à quelles questions permettent de répondre ces propriétés..

Je leur demande la propriété d’une bissectrice :

Si M est un point sur la bissectrice d’un secteur donné alors ce point est équidistant des deux côtés du secteur.

Par la suite, ils formulent la propriété réciproque et la contraposée.

Certains élèves ne comprennent pas l’utilité de la réciproque : pourquoi ne sait-on pas que le point M est sur la bissectrice puisqu’on sait qu’il est équidistant des deux côtés du secteur ? Ils ne saisissent pas la différence de sens dans les deux phrases et surtout pourquoi l’une et l’autre ne signifient pas la même chose. En effet, jusqu’à présent les trois sens sont toujours vrais dans les exemples précédents.

A l’aide de dessins et de contre-exemples, les élèves semblent convaincus.

J’enchaîne ensuite avec les propriétés suivantes, où on peut leur fait énoncer la réciproque et la contraposée. Ensuite on engage une discussion pour savoir si les propositions respectives sont vérifiées ou non.

Propriétés :

• Si a = b alors a´c = b´c

Ici la réciproque si a´c = b´c alors a = b n’est vraie que si c est différent de 0 !

• Si M milieu de [AB] alors M appartient à la médiatrice de [AB].
• Si I milieu de [AB] , alors IA = IB
• Si n est un multiple de 4 alors n est un multiple de 2.
• Si ABCD est un parallélogramme alors (AB) est parallèle (CD).
• Si ABCD a quatre côtés égaux alors il. est carré.
• Si d est parallèle à d’ alors il existe d’’ tel que d’ soit l’image de d par la symétrie d’axe d’’.
• Si d est parallèle à d’ alors il existe M tel que d’ soit l’image de d par la symétrie centrale de centre M.

Par manque de temps, je leur demande de réfléchir à la maison sur les faits suivant :

è Une réciproque est toujours vraie si la proposition est vraie ?

è Une contraposée est toujours vraie si la proposition est vraie ?

è Et si la proposition est fausse…