Trigonométrie - algèbre - problèmes de l'Antiquité - Défi
Introduction
François Viète est né en 1540 à Fontenay-Le-Comte en Vendée et mort en 1603 à Paris ; il étudia d'abord chez les Franciscains de Fontenay . A l'âge de 18 ans , il s'inscrit à l'université de Poitiers où il obtient ses diplômes de droit .Il exerce sa profession d'avocat durant quatre ans . Il devient le percepteur de la fille d'Antoinette qui avait 11 ans , et ce , durant quatre ans .Il réside à Paris de 1570 à 1573 . En 1571 , il devient avocat au parlement de Paris ; et en 1573 , il est conseiller au parlement de Rennes . En 1580 , il devient maître des requêtes au parlement de Paris et conseiller privé du roi .
En 1589 , une de ses missions lors de son séjour à Tours est de décrypter les messages échangés par les ennemis du roi de France .Il réussit brillament et irrite ses ennemis qui le dénoncent à Rome , le déchiffrage des codes secrets ne pouvant être à leurs yeux que l'oeuvre de quelqu'un qui pratique la sorcelleire .
Entre 1594 et 1603 , il est l'un des principaux conseillers d'Henri IV .
Pour lui , les mathématiques étaient considérées comme un loisir . L'«amateur» François Viète a été le plus grand mathématicien de son époque .
Viète et la trigonométrie
En 1571 , il publie son premier ouvrage " Canon mathematicus" dans lequel se trouvaient des formules de trigonométrie plane et sphérique , ainsi que des tables de trigonométrie . Ces dernières fournissaient les valeurs de six fonctions trigonométriques ( sinus , cosinus , tangente , cotangente , sécante et cosécante ) ; elles étaient établies de degré en degré avec dix chiffres significatifs pour chaque résultat .
Tous les calculs sont effectués à partir d'un cercle inscrit dans un polygone de 12 288 côtés et circonscrit à un polygone de 6 144 côtés . Ces tables contiennent quelques erreurs mais les connaissances sur la trigonométrie sont les plus importantes depuis un millénaire.
Il établit
les formules du cosinus et du sinus de la somme et de la différence
de deux nombres . Le but de ces formules étant de simplifier les calculs
. Une de ces formules : 2 cos a 
cos b = cos (a+b ) + cos ( a- b) permet de transformer une multiplication
en une addition .
Prenons
un exemple sur l'utilisation d'une telle formule : soit à effectuer
le produit 98 436
79 253 Posons cos a = 0,98 436 
2 = 0,49 218 et cos b = 0,79 253 . Il faut alors utiliser les tables de trigonométrie
pour y lire les valeurs de a et de b : On calcule alors a+b et a-b . On
lit dans la table cos (a+b ) et cos ( a- b) ; enfin on calcule cos (a+b )
+ cos ( a- b) . On gagne ainsi du temps et on évite ainsi les erreurs
de calculs dûs à la manipulation des grands nombres . Les astronomes
, qui utilisaient des données comportant parfois douze chiffres significatifs
, procédaient souvent ainsi .
Viète établit également les formules : sin(nx) et cos(nx) en fonction des puissances de sin x et cos x .
Viète et l'algèbre
En 1591 , il publie " In artem ananyticam isagoge" . Avant Viète , l'algèbre s'appelait l'"art cossique" , mot issu de "cosa" , la chose .A cette époque , le langage symbolique n'existait pas . La carré se disait "census" , le cube " cuba" .
C'est Viète
qui a créé le langage symbolique . Il définit la notion
moderne d'équation , les inconnues sont désignées par
des voyelles et les données par les consonnes . Par exemple , «
B in 3 A quadratus + F 5 in A - A cubus aequatur D solido » : 3 B
A² + 5 F
A - A^3 = D .
Il généralise les signes + et - , note la multiplication "in" et la division par une barre horizontale.
Il fournit des solutions pour des problèmes similaires à partir de données numériques différentes . Il détermine et énonce les règles permettant de résoudre les équations ; démontre les égalités algébriques élémentaires ( carré et cube de sommes et de différences )
Il met au point une technique pour résoudre toutes les équations du troisième degré , en se ramenant à une équation du troisième degré sans terme en x² .
Il commence à énoncer la relation entre les coefficients et les racines d'une équation , mais il refuse de considérer les racines négatives et ne les généralise donc pas .
Grâce à Viète , la théorie des équations est devenue une science et non plus un simple outil permettant de résoudre des problèmes .
Viète et les problèmes de l' Antiquité
En 1592
, il démontre l'impossibilté des trois problèmes : sa
démonstration repose sur son interprétation géométrique
des opérations algébriques . Il démontre que la règle
et le compas ne permettent de résoudre que des équations du
second degré ; il prouve également que la duplication du cube
et la trissectrice de l'angle se ramènent à une équation
du troisième degré . ( Pour la duplication du cube , il faut
déterminer des moyennes proportionnelles entre deux segments ) C'est
pour Viète une conséquence immédiate de sa formule trigonométrique
: 
.
Il démontre
que 
n'est pas rationnel et établit que 
;
il calcule une valeur approchée de
avec dix décimales exactes .
En 1593 , il publie " Huitième livre des réponses variées" , dans lequel il étudie en détail , en citant les problèmes antiques correspondants :
.
Viète fournit en quelques minutes au roi Henri IV une solution et revient
avec 22 solutions après avoir travaillé toute la nuit ; soit
la totalité des solutions positives .