LE NOMBRE PI


 Qui a inventé la notation ?


Qui a calculé les décimales de pi et comment ?


 Comment se souvenir des décimales de pi ?


Des valeurs exactes ou approchées de pi


Pi et la quadrature du cercle



 

Qui a inventé la notation  ?

 

La notation   est due à Adrien Romain , au XVIe siècle . Il  a choisi   car c’est la première lettre du mot grec  «  »  ( se lit « peripheria ») qui signifie circonférence .

  3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 ...

La première définition de est dûe à Archimède " Dans tout cercle , la proportion de la circonférence au diamètre et la proportion de la superficie au carré du rayon sont égales à une même constante " .

 


 

Qui a calculé les décimales de et comment ?

 

C’est Archimède , mathématicien grec , qui a trouvé une méthode pour calculer les décimales de .

En calculant le rapport entre le périmètre d’un cercle et son diamètre ( le périmètre étant mesuré à l’aide d’une ficelle ).

Il s’aperçut qu’on trouvait toujours le même nombre à quelques décimales près .

Archimède prit donc le cas du cercle de diamètre 1 ( dans ce cas , le périmètre est égal à  ) ; il a « encadré » le cercle par deux polygones à 96 côtés , et il a calculé le périmètre de ces deux polygones .

Ainsi , vers 250 avant JC , il montre que  est compris entre et .

Grâce à sa méthode , on a pu déterminer les décimales de  .

En 1949 , le premier ordinateur , l'ENIAC, calcula 2000 décimales de en 70 heures .

Grâce à de puissants ordinateurs , Yasumasa Kanada a pu calculer plus de 6 442 450 938 décimales de  en 1995, et ce après 116 heures de calcul et 131 heures de vérification de l'ordinateur .( le but étant de tester la capacité des ordinateurs ) .

 

ü      Méthode d’Archimède pour calculer les décimales de  :

 

Sa méthode consiste à encadrer un cercle de rayon 1 par deux polygones réguliers inscrits et

circonscrits à ce cercle . Archimède a considéré successivement des polygones  à 6 ; 12 ; 24 ; 48

et 96 côtés ( le nombre de côtés est doublé à chaque fois )

Nous utilisons ici la trigonométrie ; Archimède a utilisé une méthode purement géométrique .

 

On considère un polygone régulier à n côtés inscrit dans un cercle de rayon 1 .

Calculons le périmètre du polygone circonscrit au cercle.  

Soit H pied de la hauteur issue de O dans le triangle OAB.

( Pour des raisons de commodités , c’est un hexagone qui est représenté ici ) .

Soit n le nombre de côtés du polygone ( n étant égal à 6 ; 12 ; 24 ; 48 ou 96 côtés pour Archimède )

 

L’angle =  radians

Le triangle AOB est isocèle en O donc l'angle est égal à 2 , soit

Dans le triangle HOB rectangle en H , sin =    , soit sin =

Donc AB = 2 HB = 2  sin 

Le périmètre du polygone inscrit au cercle est donc égal à 2  n  sin

                                                                                                                                     

 

Calculons de même le périmètre du polygone circonscrit au cercle.  

        

Dans le triangle HOB rectangle en H , tan =  , soit tan  =

Donc AB = 2  HB = 2  tan 

Le périmètre du polygone circonscrit au cercle est donc égal à 2  n  tan

 

Finalement , si on appelle P  le périmètre du cercle ,

P = 2    1 = 2   

On a donc : 2  n  tan  < 2   < 2  n  sin  , soit       n  sin  <   < n  tan

 

Remarque : il faudrait encore montrer que les suites de terme général  n  sin  et  n  tan  convergent bien vers   en utilisant le fait que   converge vers  en  +  et que  

converge vers  en  + .

 

Pour n = 96 côtés ( valeur maximale d’Archimède ) : 3,141031951<  < 3,142857

 

Pour n = 1536 côtés ( 96  2  2  2  2 ) : 3,141590463 <  < 3,141597034 , et on trouve les

cinq premières décimales exactes .  

 


   

Comment se souvenir des décimales de  ?

 

 

Les chiffres de  peuvent se retrouver en comptant le nombre de lettres dans le texte ci-dessous :

« Que j’aime à faire apprendre un nombre utile aux sages !

      3   1   4     1    5             9          2         6          5     3       5

    Immortel Archimède  , artiste , ingénieux ,

          8                  9                7                 9                        

  Qui de ton jugement peut priser ta valeur ?

    3     2    3          8             4      6      2          5

Pour moi , ton problème eut de pareils avantages ! »

   4      3        3       8             3    2      7                  9

 

Depuis le XVIIIe siècle , les mathématiciens savent que ne n’écrit pas à l’aide d’une fraction .

 


 

Des valeurs exactes ou approchées de pi

 

v     Les babyloniens utilisaient 3 + 1/8 comme valeur approchée de  .( 3,125 )

v     Les Egyptiens , au XVIIe siècle avant JC , utilisaient 3 + comme valeur approchée de  . 

v     En Inde , vers 380 avant JC , 3 +  est utilisé comme valeur approchée de  .

v     Platon trouva : + comme valeur approchée de  , ce qui vaut environ 3,14626

v     En Chine , au Ve siècle ,  est utilisé comme valeur approchée de  .

v     Viète , au XVIe siècle , a trouvé que  = 2  

v     Wallis , au  XVIIe siècle a trouvé ou encore   =

 

v     Leibniz , fin du XVIIe siècle ,  a trouvé   

v     John Machin trouva : ; formule la plus utilisée pour calculer les décimales de

v     Quelques fractions donnant une bonne approximation de  :                   

  


 

Pi et la quadrature du cercle

 

La question est la suivante : construire un carré de surface égale à celle d'un disque de rayon fixé .

Si on prend 1 comme rayon du disque , l'aire est égale à . Il faut donc trouver x le côté du carré tel que x² = .

 

 

Ce problème a été posé vers le 5e siècle avant JC ( peut-être par Hippocrate de Chios ) , il fallait essayer de le résoudre à la règle et au compas . Un tel problème a fait couler beaucoup d'encre et n'a trouvé sa solution qu'en 1880 : Lindemann a montré que est transcendant , c'est-à-dire que ne s'écrit pas sous la forme d'une racine ; une telle démonstration fait appel à la théorie des nombres . Ce résultat prouvait bien qu'une telle construction était impossible . En effet , si était un nombre algébrique , il s'écrirait sous la forme d'une racine , et une racine est constructible à la règle et au compas ( une racine carrée est constructible à la règle et au compas en utilisant des triangles rectangles )

Ce problème a laissé une trace derrière lui : l'expression " résoudre la quadrature du cercle" est devenue synonyme de réaliser l'impossible .

 


 

A voir  aussi un site très complet sur le nombre    :      http://www.multimania.com/bgourevitch/

( vous y trouverez notamment dans la page "Lindemann" des mathématiciens , la démonstration de la transcendance de . Bon courage !! )