Exercice 1 : construction d'une racine carrée à la règle

1°) On veut construire à la règle et à l’équerre et de façon exacte un segment de longueur cm.

      En remarquant que 13 = 3² + 2² , et en justifiant votre construction ,  construire un tel segment.

 

2°) En s’inspirant de la question 1 , sans justifier, mais en indiquant les longueurs choisies sur  le   dessin,  construire à la règle et à l’équerre et de façon exacte un segment de longueur : 

           a) cm            b)   cm             c) cm            d)   cm            

3°) a) On veut construire à la règle et à l’équerre et de façon exacte un segment de longueur cm.                         

En s’inspirant de la question 1 , mais en utilisant cette fois une soustraction , et en justifiant votre construction ,  construire un tel segment.

    b) De même , construire un segment de longueur    cm ; puis  cm .


Exercice 2 : La spirale d'Archimède  

1°) Calculer les longueurs AB ; BC ; CD et DE .

2°) Continuer le procédé  pour construire un segment de longueur   cm.

3°) De façon générale , on veut construire la racine carrée d’un nombre impair n .

a)     Démontrer que n =  

b)     Utiliser le résultat du a) et s'inspirer des questions précédentes pour construire à la règle et au compas :   et 

 


Exercice 3 : anciennes unités de mesure et nombre d'or     

Au Moyen-Age , les bâtisseurs de cathédrales utilisaient un instrument de mesure de longueurs ressemblant à une règle articulée  avec pour unités : la paume , la palme , l’empan , le pied et la coudée .

Une des anciennes unités de longueur est la ligne équivalent à 0,2247 cm.

La paume = 34 lignes ( largeur de la paume de la main )

La palme = 55 lignes   ( distance maximale entre l’index et l’annulaire )

L’empan = 89 lignes   ( distance maximale entre le pouce et l’auriculaire )

Le pied = 144 lignes

La coudée = 233 lignes ( distance du coude au bout des mains )

 

1°)  Par quel même nombre , arrondi au millième , multiplie-t-on pour passer d’une unité à l’autre ?

2°)     Comparer avec  le nombre d’or   .


Exercice 4 : Les lunules d'Hippocrate      

On donne  BC = a cm          AC = b cm       et  AB = c cm

 

Exprimer en fonction de a , b et c :

1°) l’aire A du triangle ABC ;

2°) l’aire A1 du demi-disque de diamètre [AB] ;

3°) l’aire A2 du demi-disque de diamètre [AC] ;

4°) l’aire A3 du demi-disque de diamètre [CB] .

5°) En déduire que A1 + A2 = A3

6°)En déduire que l’aire de la partie hachurée appelée lunules est égale à l’aire du triangle .Pour cela , exprimer l'aire de la figure totale de deux façons différentes .

 


Exercice 5: Le nombre d'or 


Le nombre d’or , noté  (« phi ») , est égal à  .

1°)  a) Donner un arrondi de  au millième .

      b) Démontrer que  ² =  + 1

      c) Démontrer que  1 / =  - 1

2°) On veut construire à la règle et au compas , et de façon exacte , un segment de longueur égal au nombre d’or .

a)     Effectuer la construction suivante :

-         tracer un rectangle ABCD de centre O tel que AB = 2 cm et BC = 1 cm

-         Soit I le pied de la hauteur issue de O dans le triangle DOC .

-         Tracer le cercle de centre O et tangent à [CD] .

-         Le cercle coupe le segment [AC]  en R et S , R étant le point le plus proche de A .

           On va montrer dans les questions suivante que CR =  . Repasser ce segment en couleur et   vérifier qu’il est bien égal à 1,6 cm environ ( qui est la valeur approchée au dixième du nombre d’or )

b)     Calculer AC ; en déduire OC .

c)      Calculer OI ; en déduire OR .

d)     En déduire la valeur exacte de CR exprimée sous la forme d'une fraction .


Exercice 6 : Le rectangle d'or  

Un rectangle est appelé rectangle d’or si le rapport entre sa longueur et sa largeur est égal à   .

1°) Construction d’un rectangle d’or 

 

      a)  Soit ABCD un carré et I milieu de [DC].

           Le cercle de centre I et de rayon IB coupe la demi-droite [DC) en E .

           Faire une figure.

     b)  Construire le point F tel que ADEF soit un rectangle .

    On va vérifier dans la question suivante que ADEF est un rectangle d’or .

 

2°) Justification de la construction

 

     On appelle L la longueur de ce rectangle et l sa largeur .

a)     Exprimer IB en fonction de l .

b)     En déduire  L en fonction de l .

Vérifier qu’on a bien =


Exercice 7 : construction d'une racine carrée d'un nombre    

 

1°) Soit ABC un triangle rectangle en A . Soit H pied de la hauteur issue de A .

      On va démontrer que : AH² = BH  CH

a)     Ecrire le théorème de Pythagore dans le triangle ABC .

b)      Ecrire le théorème de Pythagore dans le triangle ABH .

c)      Ecrire le théorème de Pythagore dans le triangle AHC .

d)     En déduire que BC² = 2 AH² + HB² + HC²

e)      En écrivant que BC = BH + HC , montrer que BC² = BH² + HC² + 2 HB  HC

f)       Déduire des questions d) et e) que : AH² = BH  CH

 

2°) On veut construire à la règle et au compas un segment de longueur :  cm

a)     Construire un segment [BC] de longueur (1 + L) cm et H un point de [BC] tel que BH = 1 cm

b)     Construire un demi-cercle de diamètre [BC]

c)      Construire la droite perpendiculaire à (BC) passant par H . Elle coupe le demi-cercle en A .

d)     En utilisant la question 1°) , montrer que : AH =   cm

3°) En appliquant le même type de construction qu’au 2°) , construire un segment de longueur exactement égal à :       a)   cm        b)  cm