mode ou moyenne ? - moyenne ou médiane ? - moyenne arithmétique - moyenne harmonique - moyenne géométrique - moyenne quadratique - relation entre ces moyennes
Introduction
Le mot "moyenne" est souvent utilisé dans le vocabulaire de la vie quotidienne : " en moyenne" , " le français moyen" ; " être dans la moyenne" ...
Ce mot date de l'époque du Moyen-Age et vient du latin "medius" signifiant " qui est au milieu " ; lui-même venant de "medianus" signifiant " doigt du milieu " . Le mot " médiane" a la même étymologie.
Le mot "moyenne" est utilisé sans réelle
connaissance de ce que cela signifie . Il faut bien se méfier de son
interprétation . Prenons un exemple : Dans une entreprise , voici le
salaire de chacune des six personnes y travaillant : 1400 
;
1420 ;
1500 ;
1350 ;
1320 ;
5000 .
Doit-on pour autant en déduire que le salaire moyen d'un employé
de cette entreprise est d'environ 1998 ?
Le type de valeur comme "5000"
est une valeur extrême qui fausse l'interprétation de la moyenne
. Dans une telle situation , il faut supprimer les valeurs extrêmes ;
la moyenne est alors d'environ 1398 ,
grandeur bien plus réaliste !
Mode ou moyenne ?
" On a en moyenne deux enfants par famille " : la valeur 2 ne correspond pas à une moyenne mais à un mode : valeur la plus fréquemment rencontrée . Une série stastistique peut ainsi avoir plusieurs modes .
Le mode a été le premier paramètre utilisé en statistiques .
Moyenne ou médiane ?
Luc a eu 08 / 20 à son contrôle de latin .Les notes sont : 07 - 04 - 08 - 07 - 06 - 14 - 16 - 14 - 05.
La moyenne de la classe est de 09/20 .
Il se situe donc en-dessous de la moyenne de la classe .
Classons à présent ces notes dans l'ordre croissant : 04 - 05 - 06 - 07 - 07 -08 - 14 - 14 - 16.
La note "du milieu " est 07 ; note qui coupe l'effectif en deux et qu'on appelle la médiane : cela signifie qu'il y a autant de notes inférieures à 07/20 que de notes supérieures à 07/20 . Luc est donc dans la première moitié de classe!!
Dans un tel exemple , la moyenne n'est pas révélatrice des résultats obtenus par les élèves ; il vaut mieux dans ce cas utiliser la médiane .
Reprenons l'exemple cité ci-dessus : Dans une entreprise
, voici le salaire de chacun des six personnes y travaillant : 1320 ;
1350 ;
1400 ;
1420;
1500 ;
5000 .
La moyenne est de 1998 ;
le salaire médian est égal à 1410 (
(1400 + 1420 ) 
2 = 1410 ) , beaucoup plus réaliste que la moyenne !
La médiane apparaît en 1757 dans les statistiques .
Moyenne arithmétique
Qu'entend-on par moyenne arithmétique
? Tout simplement la moyenne qu'on effectue naturellement . Par exemple :
Luc a eu 12 a son sontrôle de maths ; puis 15 . Sa moyenne est donc
de 13,5 : ( 12 + 15 ) 2
= 13,5
La moyenne arithmétique date du XVIe siècle , apportée par l'astronome danois Tycho Brahé
Nous allons voir qu'il existe d'autres types de moyennes insoupçonnées par beaucoup ....
Moyenne harmonique
Eric fait un aller - retour entre une ville A à
une ville B à vélo . A l'aller , sa vitesse moyenne est de 20
et au retour , elle est de 26
.Doit-on en conclure que sa vitesse moyenne sur l'ensemble du trajet est de
23 ?
En effet , nous aurions tendance à faire la moyenne "habituelle"
: (20 + 26 )
2 = 23 . Nous allons voir qu'il y a une erreur de raisonnement et que nous ne
devons pas calculer la moyenne arithmétique .
Soit d la distance entre la ville A et la ville B ; t le temps mis à l'aller et T le temps mis au retour .
d = 20 t soit t = 
pour
l'aller
et d = 26 T soit T = 
pour le retour
Durant l'aller - retour : la distance parcourue est égale à 2 d ; la durée du parcours est égale à t + T ; on note V est la vitesse moyenne parcourue durant l'ensemble du trajet .
On a alors : 2 d = V ( t + T) = V (
+
)
Soit 2 = V ( 
+
) en divisant chaque membre de l'équation par d
On en déduit que V 
22,6 !!!
Dans ce type d'exemple , nous ne devons pas calculer la moyenne arithmétique mais la moyenne harmonique :
Soient a et b deux nombres donnés ; la moyenne harmonique h se calcule de la façon suivante
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En conclusion , quand on calcule une moyenne de vitesses , on utilise la moyenne harmonique .
Moyenne géométrique
Le prix de l'essence a augmenté
de 20 % l'an dernier et de 10 % cette année . Doit-on en déduire
que l'essence a augmenté en moyenne de 15 % par an ? En
effet , nous aurions tendance à faire la moyenne "habituelle"
: (20 + 10 )
2 = 15 .
Soit x le prix de l'essence .
Au bout de la première année , le prix de
l'essence est de 1,20 x . Au bout de la deuxième année , son prix
est de 1,10 
1,20 x soit 1,32 x .
Appelons à présent P le pourcentage moyen d'augmentation par an .
Au bout de la première année , le prix de l'essence est de ( 1 + P ) x . Au bout de la deuxième année , son prix est de ( 1 + P ) ² x .
Nous avons donc ( 1 + P ) ² = 1,32 ; soit 
1,1489
Le pourcentage d'augmentation est donc environ de 14,89 %
Dans ce type d'exemple , nous ne devons pas calculer la moyenne arithmétique mais la moyenne géométrique :
Soient a et b deux nombres donnés strictement positifs ; la moyenne géométrique g se calcule de la façon suivante
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En conclusion , quand on calcule une moyenne de pourcentages , on utilise la moyenne géométrique .
Les moyennes géométrique et harmonique apparaissent en 1874 en Angleterre.
Moyenne quadratique
Soit un carré de côté 5 cm , et un autre carré de côté 6 cm . La somme des aires des deux carrés est-elle égale au double de l'aire d'un carré moyen de 5,5 cm de côté ?
Soit x le côté du carré moyen .
On doit avoir 2 x² = 5² + 6² ; soit : 
=
30,5 soit x
5,52 cm
Dans ce type d'exemple , nous ne devons pas calculer la moyenne arithmétique mais la moyenne quadratique :
Soient a et b deux nombres donnés ; la moyenne quadratique q se calcule de la façon suivante
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Quelle relation entre ces différentes moyennes ?
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