compter avec son corps - multiplier 9 par un chiffre - multiplier deux nombres compris entre 5 et 10 -

multiplier deux nombres compris entre 5 et 10


 1°) compter avec son corps

De la même façon qu' à l'époque préhistorique ils se servaient d'entailles , les hommes s'assurent que deux ensembles ont le même nombre d'éléments en les faisant correspondre terme à terme . Chaque partie du corps désignait un nombre précis . Les noms de nombre ont souvent pour origine une partie du corps.

En Papouasie , dans l'île de la Nouvelle Guinée , les indigènes peignent des repères de couleurs sur leur corps pour retenir une date ou une quantité. Un exemple : pour retenir la date d'une cérémonie qui se déroulera dans huit lunes et onze jours , il fera deux marques de couleurs différentes : l'une sur l'épaule droite ( correspondant au chiffre huit ) et l'autre sur le coude gauche ( correspondant au nombre onze ) ; il prendra ensuite un os muni de trente encoches pour compter les jours d'une lune .Chaque jour , il nouera une cordelette sur une encoche , soit 29 soit 30 fois ( les mois lunaires ont 29 ou 30 jours ) . A la fin du mois , il dénouera tout , et marquera à chaque lune un point rouge sur son corps . Il recommencera jusqu'à atteindre le huitième mois . Puis , il peindra chque jour sur son corps un trait jusqu'à la date fixée .

Avant l'existence des systèmes de numération , les hommes ont compté avec les doigts. C'est le plus ancien des instruments de calcul .

En comptant une unité par phalange , on peut compter jusqu'à 14 avec une main . ( En Inde , Chine , Indochine )

Il existait une manière plus élaborée pour compter avec les doigts , pratiquée par les peuples latins depuis l'Antiquité jusqu'à une époque récente . Le procédé est analogue aux méthodes d'expression digitales des sourds muets . A l'aide de gestes effectués sur une ou deux mains , ils pouvaient exprimer les nombres de 1 à 9 999 .


2°) Calculer 9 n où n est compris entre 1 et 9

Pour multiplier des nombres de 5 à 10 et de 10 à 15 , il suffit de connaître les tables de multiplication des nombres de 1 à 5 et de savoir multiplier par 10 .

Calculons par exemple 9 4 .

On replie le doigt n°4.

Il y a autant de dizaines que de doigts à gauche du doigt replié (3) et autant d'unités que de doigts à droite du doigt replié ( 6 )

on a donc 9 4 = 36

 justification : 9 n = 10 ( n - 1 ) + (10 - n )

quand on étend le doigt N°n , il y a (n-1) doigts étendus à sa gauche et 10 - n à sa droite.


 

3°) Multiplier deux nombres x et y compris entre 5 et 10 .

Calculons 68 ( x = 6 et y = 8 )

x - 5 = 6 - 5 = 1 on replie 1 doigt de la main gauche

y - 5 = 8 - 5 = 3 on replie 3 doigts de la main droite.

il y a en tout 4 doigts repliés ( chiffre des dizaines). On multiplie les doigts étendus :

4 2 = 8 (chiffre des unités ) donc 6 8 = 48

justification :

x = 5+a et y = 5 + b , a et b étant compris entre 1 et 5

on replie a doigts de la main gauche et b doigts de la main droite.

Vérifions que le chiffre des dizaines correspond bien à ( a + b ) et que le chiffre de unités correspond à ( 5 - a ) ( 5 - b )

10 ( a + b ) + ( 5 - a ) ( 5 - b ) = 10 a + 10 b + 25 - 5 a - 5 b + ab = 5 a + 5 b + 25 + ab d'une part

D'autre part , x y = ( 5+a) ( 5+b ) = 25 + ab + 5a + 5b

donc on a bien : ( 5+a) ( 5+b ) =10 ( a + b ) + ( 5 - a ) ( 5 - b )

Autrement dit : le produit de x par y est un nombre qui a pour chiffre des dizaines a + b et pour chiffre des centaines ( 5 - a ) ( 5 - b )

 


 

4°) Multiplier deux nombres x et y compris entre 10 et 15 .

Calculons 12 14 ( x = 12 et y = 14 )

on étend 2 doigts de la main gauche et 4 doigts de la main droite

on multiplie par 10 le nombre total de doigts étendus : 10 ( 2 + 4 ) = 60

on calcule le produit 2 4 = 8 ( produit des doigts étendus )

on ajoute les deux nombres obtenus à 100 : 100 + 60 + 8 = 168

 justification :

avec le calcul de 12 14 :

12 14 = ( 10 + 2 ) ( 10 + 4 ) = 10 10 + 10 4 + 10 2 + 2 4 = 100 + 10 6 + 8 = 168

de façon générale :

x = 10 + c et y = 10 + d

x y = ( 10 + c ) ( 10 + d ) = 100 + 10 c + 10 d + c d