trigonometrie

Que signifie le mot "trigonométrie "?

Pourquoi la trigonométrie ?

Qui a inventé la trigonométrie ?

Comment obtenir les tables de trigonométrie ?

Le sinus (noté sin au XVIIe siècle )

Le cosinus (noté cos au XVIIe siècle )

La tangente (notée tan au XVIIe siècle )

Calcul de la distance de Vénus au Soleil

Calcul de la distance de Mars au Soleil

Le mot «trigonométrie» vient du grec et signifie " mesure des triangles" ; c'est donc l'art de mesurer les angles.

La trigonométrie a été d'abord associée à l'astronomie , le besoin d'une telle science est apparu pour calculer la distance des planètes au Soleil. Elle est utilisée pour l'arpentage , la navigation , l'aviation , EDF ( l'intensité du courant alternatif est exprimée à l'aide du sinus ) .

Le but initial de la trigonométrie est de mesurer une corde ( ici [AB] ) en fonction de la mesure de l'angle ( ici ) et du rayon du cercle ( ici OA ).

Les applications de la trigonométrie sont nombreuses : arpentage , topographie ( relevé et description des lieux ) , sylviculture ( hauteur des arbres par exemple ) . , largeur d'une rivière , hauteur d'une tour ... Fin du XVIe siècle , c'est devenu une branche des mathématiques .

L'astronome grec Hipparque qui a vécu au II^e siècle avant JC , a fondé la trigonométrie et a calculé les premières tables trigonométriques (calculs de sinus , cosinus et tangente d'un angle)dans le but de prédire des phénomènes astronomiques réguliers .Il a mis au point une méthode pour mesurer le rapport des distances entre la Terre , la Lune et le Soleil .

Quand la Lune est exactement à l'un des quartiers ( c'est-à-dire quand on en voit précisément la moitié ), TSL est un triangle rectangle en L. L'angle 89,52 ° , soit une distance Terre - Soleil 390 fois supérieure à la distance Terre - Lune . ; Aristarque trouvait 87 ° et une distance Terre - Soleil seulement 19 fois supérieure la distance Terre - Lune .La méthode d'Aristarque était donc bonne mais les mesures pas très précises .

Les observations permettaient de mesurer les longueurs de cordes et d'angles ; il fallait donc un outil mathématique permettent de passer d'une corde à l'arc de cercle correspondant afin de calculer des longueurs de trajectoire : le calcul trigonométrique était né , grâce à Ptolémée qui trouva ces formules.

Vers 160 , Ptolémée rédigea " l'Almageste" dans lequel il y traite toute la trigonométrie de l'Antiquité.Il explique comment calculer des longueurs de cordes et publie une table de cordes très complète de demi degrés en demi degrés.

Il s'est servi de la trigonométrie pour calculer la distance des planètes au Soleil .

Hipparque a montré que cos ² a = . Cette formule lui a servi à calculer par exemple , à partir de cos 60° : cos30°, sin 30° , cos 15° , sin 15° , cos 7,5° , sin 7,5 ° ... C'est ainsi qu'il a pu fabriquer les premières tables de trigonométrie. C'est lui qui a divisé le cercle en 360 °.

Les formules sin(a ± b ) , cos(a ± b) , cos ( 90 - x ) .... ont servi au fur et à mesure à compléter les tables de trigonométrie en partant de quelques valeurs connues comme les sinus , cosinus et tangente des angles de 30° ; 60° et 45° .

Comment calculer les sinus , cosinus et tangente de 30° et 60° ?

IJK est un triangle équilatéral de côté 1 et H pied de la hauteur issue de A .

On obtient facilement ,cos 60° =

En utilisant la formule sin²x + cos² x = 1 , on obtient

En utilisant la formule = 1 , on obtient

Comment calculer les sinus , cosinus et tangente de 45° ?

ABCD est un carré de côté 1 .

En utilisant le théorème de Pythagore , on trouve : AC =

De la même façon que précédemment , on trouve : et tan 45° = 1

Démonstration de la formule : sin (a+b) = sin a cos b + sin b cos a

Ptolémée a utilisé le théorème suivant qu il a lui-même démontré : « Dans un quadrilatère convexe inscrit dans un cercle , le produit des diagonales est égal à la somme des produits des côtés opposés ».

Soit ABCD un quadrilatère dans un cercle de diamètre [AC]. Soit E le symétrique de D par rapport à O.

= = a + b ( car les deux angles inscrits et sont égaux à la moitié de l'angle au

centre )

= 90°

Dans le triangle DBE rectangle en B , sin = avec DE = AC donc sin (a+b) =

Dans le quadrilatère ABCD , d'après le théorème de Ptolémée , AC BD = AB CD + BC AD

En divisant par AC² , on obtient : ,

c est-à-dire : sin (a+b)= cos b sin a + sin b cos a

Démonstration du théorème de Ptolémée : cliquer ici

Au V^e siècle , un indien considéra la demi-corde de l'angle double ( 2a ) au lieu de la corde de l'angle a.Le nom indien donné à la demi-corde de l'angle double deviendra le mot "sinus " ( créé au XVe siècle par un allemand , traduit du mot sanscrit " jiva " signifiant " corde d'arc ") après avoir été traduit en arabe , puis en latin . On le note en abrégé " sin "

Des savants arabes ont établi des tables de sinus très précises .

cercle de rayon 1

- La corde de l'angle a est AB.

- L'angle = 2 a et admet pour corde AK donc pour demi-corde AH.

- Dans le triangle OAH rectangle en H , AH = (puisque OA=1 ) et par définition , AH = sin a donc sin a = . Cette formule du sinus reste valable pour toute valeur du rayon OA du cercle .

Le cosinus a été défini comme le sinus de l'angle complémentaire.

La tangente d'un angle a été introduite au X^e siècle après JC par un mathématicien arabe . Vers le début du X^e siècle , un égyptien inventa la tangente qui est l'outil idéal pour mesurer des hauteurs ( notamment les hauteurs de monuments ) . Ce mot traduit le fait que la tangente d'un angle est tangente au cercle . Le mot tangente vient du latin "tangere" qui signifie toucher .

Pour calculer les distances entre le Soleil et les planètes , il faut mesurer l'angle sous lequel on les voit .

Le point V désigne Vénus ( connue aussi sous le nom "d'étoile du berger " ), le point S le Soleil et le point T la Terre.

Quand elle est en quadrature avec le Soleil et le Terre ( c'est-à-dire quand les trois planètes forment un triangle rectangle ) , = 90°. Copernic a mesuré l'angle et a trouvé 48°.

donc sin 48 ° = d'où SV = ST sin 48 °. Donc SV est environ égal à 0,74 ST .

La distance de Vénus au Soleil est environ égale à 0,74 fois celle de la Terre au Soleil .

Les Points S ( Soleil ) , T₁ ( Terre ) et M₁ ( Mars ) sont alignés . 106 jours plus tard , ils sont en quadrature : = 90°

On sait que Mars tourne autour du Soleil en 687 jours donc = (106 687 ) 360° 55,5°

On sait que la Terre tourne autour du Soleil en 365 jours donc = (106 365 ) 360° 104,5°

On en déduit que l'angle = - = 104,5° - 55,5° = 49°

Finalement , dans le triangle rectangle en T₂ ,

donc SM 1,52 ST

La distance de Mars au Soleil est environ égale à 1,52 fois celle de la Terre au Soleil .