Pour
tracer des angles droits , les Egyptiens utilisaient une corde à 13 nœuds
équidistants . Retrouver leur méthode .
On a tracé trois demi-cercles de diamètres respectifs
Les
parties hachurées représentent ce qu’on appelle les lunules d’Hippocrate .
1°)
Calculer BC.
2°)
Pourquoi le point A est-il sur le cercle de diamètre [BC] ?
3°)
a) Calculer l’aire du triangle ABC que vous noterez A .
b) Calculer l’aire A
1 du demi-cercle de diamètre [AB] , l’aire A 2 du demi-cercle
de diamètre [AC] et l’aire A 3
du demi-cercle de diamètre [BC] . Vous écrirez les résultats sous la forme
exacte : a ´ p , a étant un nombre
décimal.
c) Vérifier que : A 1+ A
2 = A 3
d) En déduire que la
somme S des aires des lunules est égale à l’aire du triangle ABC.
Remarque :
Le résultat de la question précédente se généralise en posant AB = c et AC = b et BC = a .
Exercice
3 : construction de la racine carrée d'un nombre
Construire
un triangle rectangle en A tel que AB = 1 cm et AC = 1 cm .
1°)
Calculer BC .
2°)
a) Placer le point D tel que BDC soit un triangle rectangle en C et CD = 1
cm .
b) Calculer BD .
3°)
a) Placer le point E tel que BDE soit un triangle rectangle en D et ED = 1
cm .
b) Calculer BE .
4°)
En continuant la construction comme précédemment , placer le point M tel que
BM = 
cm.
5°) On veut construire à la règle et à l’équerre
et de façon exacte un segment de longueur 
cm.
a) Tracer un triangle ABC rectangle en
A avec AB = 2 cm et AC = 3 cm .
b) Justifier pourquoi BC = cm
. Repasser alors le segment de longueur
cm en couleur.
c) En s’inspirant de la question 1 , sans justifier,
mais en indiquant les longueurs choisies sur le dessin,
construire à la règle et à l’équerre et de façon exacte un segment
de longueur :
a)
cm b) 
cm c) 
cm
ABC
est un triangle rectangle en A . On construit trois carrés C 1 ; C 2 et C 3 comme indiqué
sur la figure. On veut montrer que AB² + AC² = BC²
1°)
Considérons le triangle FBC et ABD .
Pourquoi ces deux triangles ont-ils les
mêmes dimensions ?
2°)
Soient I et L les points construits comme indiqués sur la figure.
a) Montrer
que l’aire du rectangle BDLI est égale au double de l’aire du triangle ABD.
b) Montrer
que l’aire du carré BFGA est égale au double de l’aire du triangle BFC.
3°)
En déduire que l’aire du carré BFGA est égale à l’aire du carré BDLI.
De
même , on montrerait que l’aire du carré CILE est égale à l’aire du carré
ACKH.
4°)
En déduire que l’aire du carré BCED = l’aire du carré BFGA + l’aire du carré
ACKH
Conclure.
On se donne
un triangle ABC rectangle en A.
On pose :AB
= c ; AC = b et BC = a
1°) Justifier
que GHIJ est un carré .
1°) Calculer
l’aire du carré GHIJ , celle du carré VNUK , puis celle du carré TKSQ.
2°) Justifier
pourquoi : Aire du carré GHIJ
= aire du carré VNUK + aire du carré TKSQ
3°) En déduire l’égalité du théorème de Pythagore.
Exercice
6 : une démonstration du théorème de Pythagore(1)
Garfield fut au XIXe siècle président des Etats-Unis . Il proposa une démonstration du théorème de Pythagore :
ABC
et CDE sont deux triangles rectangles respectivement en B et D.
1°)
Montrer que 
=
90 °
2°)
Pourquoi AEDB est-il un trapèze ?( Vous montrerez pour cela que les droites (AB) et (DE) sont parallèles
)
3°) Calculer de deux façons différentes l’aire du trapèze AEDB. On donne la formule permettant de calculer l'aire du trapèze :
4°)
En déduire l'égalité vérifiée par le théorème
de Pythagore.
ABE
, BFC , DGC et ADH sont quatre triangles
rectangles respectivement en E , F ,G et H.
1°)
Montrer que EFGH est un carré .
2°)
Calculer l’aire du carré ABCD de deux façons
3°)
En déduire l'égalité vérifiée par le théorème
de Pythagore.